Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, K

Average Error: 20.3 → 18.7

Time: 12.8s

Precision: 64

Math

\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \le -6.76733082423641415 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315}}\right)}^{4}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \mathbf{elif}\;y \le 1.9514588059790215 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {y}^{2}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return (((2.0 * sqrt(x)) * cos((y - ((z * t) / 3.0)))) - (a / (b * 3.0)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double VAR;
	if ((y <= -6.767330824236414e-23)) {
		VAR = ((((2.0 * sqrt(x)) * (cos(y) * cos(((cbrt(0.3333333333333333) * cbrt(0.3333333333333333)) * (cbrt(0.3333333333333333) * (t * z)))))) + ((2.0 * sqrt(x)) * (sin(y) * sin(((cbrt((cbrt(0.3333333333333333) * cbrt(0.3333333333333333))) * pow(cbrt(cbrt(0.3333333333333333)), 4.0)) * (cbrt(0.3333333333333333) * (t * z))))))) - (a / (b * 3.0)));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((y <= 1.9514588059790215e-56)) {
			VAR_1 = (((2.0 * sqrt(x)) * (1.0 - (0.5 * pow(y, 2.0)))) - (a / (b * 3.0)));
		} else {
			VAR_1 = (((2.0 * sqrt(x)) * cos((y - ((cbrt(0.3333333333333333) * cbrt(0.3333333333333333)) * ((cbrt((cbrt(0.3333333333333333) * (t * z))) * cbrt((cbrt(0.3333333333333333) * (t * z)))) * cbrt((cbrt(0.3333333333333333) * (t * z)))))))) - (a / (b * 3.0)));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Target

Original	20.3
Target	18.4
Herbie	18.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -1.379333748723514 \cdot 10^{129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.333333333333333315}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z \lt 3.51629061355598715 \cdot 10^{106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.333333333333333315}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < -6.767330824236414e-23

   1. Initial program 21.6

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   2. Taylor expanded around inf 21.5

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y - 0.333333333333333315 \cdot \left(t \cdot z\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cube-cbrt 21.6

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right)} \cdot \left(t \cdot z\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   5. Applied associate-*l* 21.6

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied cos-diff 21.0

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right) + \sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   8. Applied distribute-lft-in 21.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3}\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-cube-cbrt 21.0

       \[\leadsto \left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}}} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   11. Applied cbrt-prod 21.0

       \[\leadsto \left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315}}\right)} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   12. Applied associate-*l* 21.0

       \[\leadsto \left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   13. Simplified 21.0

       \[\leadsto \left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315}}\right)}^{4}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   if -6.767330824236414e-23 < y < 1.9514588059790215e-56

   1. Initial program 19.6

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   2. Taylor expanded around 0 16.2

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - \frac{1}{2} \cdot {y}^{2}\right)} - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   if 1.9514588059790215e-56 < y

   1. Initial program 20.4

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   2. Taylor expanded around inf 20.4

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos \left(y - 0.333333333333333315 \cdot \left(t \cdot z\right)\right)} - \frac{a}{b \cdot 3}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cube-cbrt 20.4

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right)} \cdot \left(t \cdot z\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]

   5. Applied associate-*l* 20.4

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt 20.4

      \[\leadsto \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right)}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 18.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \le -6.76733082423641415 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;\left(\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\sin y \cdot \sin \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315}}\right)}^{4}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)\right)\right)\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \mathbf{elif}\;y \le 1.9514588059790215 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \cdot {y}^{2}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \left(\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \sqrt[3]{0.333333333333333315}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.333333333333333315} \cdot \left(t \cdot z\right)}\right)\right) - \frac{a}{b \cdot 3}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020103 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.379333748723514e+129) (- (* (* 2 (sqrt x)) (cos (- (/ 1 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2) (cos (- y (* (/ t 3) z)))) (/ (/ a 3) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3))))

  (- (* (* 2 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3)))) (/ a (* b 3))))