math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 4.7969762353997237 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.8690343856096462 \cdot 10^{71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= 4.796976235399724e-254)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 4.869034385609646e+71)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (((fabs(cbrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(cbrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))))) * sqrt(cbrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))))) + re))));
		} else {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (re + re))));
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.9
Target	33.8
Herbie	27.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 4.796976235399724e-254

   1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 4.796976235399724e-254 < re < 4.869034385609646e+71

   1. Initial program 19.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cube-cbrt 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   5. Simplified 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-sqr-sqrt 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

   8. Applied cbrt-prod 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

   9. Applied sqrt-prod 19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

   10. Applied associate-*r* 19.9

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

   if 4.869034385609646e+71 < re

   1. Initial program 47.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 11.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 27.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 4.7969762353997237 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.8690343856096462 \cdot 10^{71}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020103 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))