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\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\left(\frac{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}
↓
\left(\frac{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)
double code(double v, double t) {
	return ((1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((((double) M_PI) * t) * sqrt((2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v)))))) * (1.0 - (v * v))));
}
↓
double code(double v, double t) {
	return ((((((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((double) M_PI)) / t) / ((sqrt((2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v))))) * fma(1.0, 1.0, pow(v, 4.0))) * ((1.0 * 1.0) - ((v * v) * (v * v))))) * ((1.0 * 1.0) + ((v * v) * (v * v)))) * (1.0 + (v * v)));
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}}\]

  4. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + v \cdot v}}}\]

  5. Applied associate-/r/0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]

  8. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]

  9. Applied associate-/r/0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]

  10. Simplified0.4

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi \cdot t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied associate-/r*0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]

  13. Final simplification0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020100 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  :precision binary64
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))