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\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.1561596166685901 \cdot 10^{125}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.80996693730795831 \cdot 10^{-103}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.33673518569970664 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -8.1561596166685901 \cdot 10^{125}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le -3.80996693730795831 \cdot 10^{-103}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.33673518569970664 \cdot 10^{-296}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -8.15615961666859e+125)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (-2.0 * re))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= -3.8099669373079583e-103)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * ((pow(sqrt(((re * re) + (im * im))), 0.75) * sqrt(sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))))) - re))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 2.3367351856997066e-296)) {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im - re))));
			} else {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((2.0 * (pow(im, 2.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re)))));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -8.15615961666859e+125

    1. Initial program 55.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -8.15615961666859e+125 < re < -3.8099669373079583e-103

    1. Initial program 16.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt16.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    10. Simplified16.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied pow1/216.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{2}}}}\right)}^{3} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    13. Applied sqrt-pow116.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\color{blue}{\left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}}^{3} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    14. Applied pow-pow16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot 3\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    15. Simplified16.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{4}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    if -3.8099669373079583e-103 < re < 2.3367351856997066e-296

    1. Initial program 26.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 34.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 2.3367351856997066e-296 < re

    1. Initial program 45.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{{im}^{2}}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification28.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -8.1561596166685901 \cdot 10^{125}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(-2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le -3.80996693730795831 \cdot 10^{-103}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.33673518569970664 \cdot 10^{-296}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{{im}^{2}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020100 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  (* 0.5 (sqrt (* 2 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))