Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 12.5 → 12.7

Time: 10.5s

Precision: 64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.4987427282522145 \cdot 10^{-207}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, -\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, a \cdot j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return (((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double VAR;
	if ((x <= 1.4987427282522145e-207)) {
		VAR = ((x * ((y * z) - (t * a))) + fma(((c * a) - (y * i)), j, -((cbrt(b) * cbrt(b)) * (cbrt(b) * ((c * z) - (t * i))))));
	} else {
		VAR = (fma(c, (a * j), ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i))))) + (j * -(y * i)));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.5
Target	20.7
Herbie	12.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.4987427282522145e-207

   1. Initial program 13.6

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 13.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(-b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)\right)} + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied associate-+l+ 13.6

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \left(\left(-b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)}\]

   5. Simplified 13.6

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, -b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt 13.9

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, -\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \sqrt[3]{b}\right)} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)\]

   8. Applied associate-*l* 13.9

      \[\leadsto x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, -\color{blue}{\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\right)\]

   if 1.4987427282522145e-207 < x

   1. Initial program 11.0

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 11.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \color{blue}{\left(c \cdot a + \left(-y \cdot i\right)\right)}\]

   4. Applied distribute-lft-in 11.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(j \cdot \left(c \cdot a\right) + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\right)}\]

   5. Applied associate-+r+ 11.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(-y \cdot i\right)}\]

   6. Simplified 10.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)} + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 12.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.4987427282522145 \cdot 10^{-207}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) + \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, -\left(\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{b} \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c, a \cdot j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(-y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020091 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))