Average Error: 30.0 → 1.0
Time: 6.3s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 70.854524919311487:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}{\frac{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 70.854524919311487:\\
\;\;\;\;\frac{\frac{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}{\frac{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}}}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\

\end{array}
double code(double x, double eps) {
	return ((((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0);
}
↓
double code(double x, double eps) {
	double VAR;
	if ((x <= 70.85452491931149)) {
		VAR = (((cbrt((-pow((1.0 * pow(x, 2.0)), 3.0) + pow(((0.6666666666666667 * pow(x, 3.0)) + 2.0), 3.0))) * cbrt((-pow((1.0 * pow(x, 2.0)), 3.0) + pow(((0.6666666666666667 * pow(x, 3.0)) + 2.0), 3.0)))) / (((((0.6666666666666667 * pow(x, 3.0)) + 2.0) * ((0.6666666666666667 * pow(x, 3.0)) + (2.0 + (1.0 * pow(x, 2.0))))) + (1.0 * (1.0 * pow(x, 4.0)))) / cbrt((-pow((1.0 * pow(x, 2.0)), 3.0) + pow(((0.6666666666666667 * pow(x, 3.0)) + 2.0), 3.0))))) / 2.0);
	} else {
		VAR = ((((1.0 + (1.0 / eps)) / exp(((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0);
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 70.85452491931149

    1. Initial program 40.0

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around 0 1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cbrt-cube1.3

      \[\leadsto \frac{\left(0.66666666666666674 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot {x}^{3}}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

    5. Applied add-cbrt-cube1.3

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(0.66666666666666674 \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 0.66666666666666674}} \cdot \sqrt[3]{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot {x}^{3}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

    6. Applied cbrt-unprod1.3

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.66666666666666674 \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot 0.66666666666666674\right) \cdot \left(\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot {x}^{3}\right)}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

    7. Simplified1.3

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied flip3--1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right)}^{3} - {\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}}{\left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) + \left(\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right) + \left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)\right)}}}{2}\]

    10. Simplified1.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}{\left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) + \left(\left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right) + \left(\sqrt[3]{{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)}^{3}} + 2\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)\right)}}{2}\]

    11. Simplified1.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}}}{2}\]
    12. Using strategy rm

    13. Applied add-cube-cbrt1.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}}{2}\]

    14. Applied associate-/l*1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}{\frac{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}}}}{2}\]

    if 70.85452491931149 < x

    1. Initial program 0.2

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied exp-neg0.2

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    4. Applied un-div-inv0.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification1.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 70.854524919311487:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}{\frac{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + \left(2 + 1 \cdot {x}^{2}\right)\right) + 1 \cdot \left(1 \cdot {x}^{4}\right)}{\sqrt[3]{\left(-{\left(1 \cdot {x}^{2}\right)}^{3}\right) + {\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right)}^{3}}}}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020091 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))