Average Error: 11.3 → 6.5
Time: 4.8s
Precision: 64
\[x - \frac{\left(y \cdot 2\right) \cdot z}{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}\]
↓
\[x - \frac{y \cdot 2}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t} \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}} \cdot \frac{z}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}}\]
x - \frac{\left(y \cdot 2\right) \cdot z}{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}
↓
x - \frac{y \cdot 2}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t} \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}} \cdot \frac{z}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}}
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (x - (((y * 2.0) * z) / (((z * 2.0) * z) - (y * t))));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (x - (((y * 2.0) / (cbrt((((z * 2.0) * z) - (y * t))) * cbrt((((z * 2.0) * z) - (y * t))))) * (z / cbrt((((z * 2.0) * z) - (y * t))))));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original11.3
Target0.1
Herbie6.5
\[x - \frac{1}{\frac{z}{y} - \frac{\frac{t}{2}}{z}}\]

Derivation

  1. Initial program 11.3

    \[x - \frac{\left(y \cdot 2\right) \cdot z}{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cube-cbrt11.4

    \[\leadsto x - \frac{\left(y \cdot 2\right) \cdot z}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t} \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}}}\]

  4. Applied times-frac6.5

    \[\leadsto x - \color{blue}{\frac{y \cdot 2}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t} \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}} \cdot \frac{z}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}}}\]

  5. Final simplification6.5

    \[\leadsto x - \frac{y \cdot 2}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t} \cdot \sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}} \cdot \frac{z}{\sqrt[3]{\left(z \cdot 2\right) \cdot z - y \cdot t}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020091 
(FPCore (x y z t)
  :name "Numeric.AD.Rank1.Halley:findZero from ad-4.2.4"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- x (/ 1 (- (/ z y) (/ (/ t 2) z))))

  (- x (/ (* (* y 2) z) (- (* (* z 2) z) (* y t)))))