Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 19.8 → 0.1

Time: 5.1s

Precision: 64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -10803300379083948 \lor \neg \left(z \le 5240042.35953621287\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, 0.0692910599291888946 \cdot y\right) + x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} + x\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r352093 = x;
        double r352094 = y;
        double r352095 = z;
        double r352096 = 0.0692910599291889;
        double r352097 = r352095 * r352096;
        double r352098 = 0.4917317610505968;
        double r352099 = r352097 + r352098;
        double r352100 = r352099 * r352095;
        double r352101 = 0.279195317918525;
        double r352102 = r352100 + r352101;
        double r352103 = r352094 * r352102;
        double r352104 = 6.012459259764103;
        double r352105 = r352095 + r352104;
        double r352106 = r352105 * r352095;
        double r352107 = 3.350343815022304;
        double r352108 = r352106 + r352107;
        double r352109 = r352103 / r352108;
        double r352110 = r352093 + r352109;
        return r352110;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r352111 = z;
        double r352112 = -10803300379083948.0;
        bool r352113 = r352111 <= r352112;
        double r352114 = 5240042.359536213;
        bool r352115 = r352111 <= r352114;
        double r352116 = !r352115;
        bool r352117 = r352113 || r352116;
        double r352118 = 0.07512208616047561;
        double r352119 = y;
        double r352120 = r352119 / r352111;
        double r352121 = 0.0692910599291889;
        double r352122 = r352121 * r352119;
        double r352123 = fma(r352118, r352120, r352122);
        double r352124 = x;
        double r352125 = r352123 + r352124;
        double r352126 = 0.4917317610505968;
        double r352127 = fma(r352111, r352121, r352126);
        double r352128 = 0.279195317918525;
        double r352129 = fma(r352127, r352111, r352128);
        double r352130 = r352119 * r352129;
        double r352131 = 6.012459259764103;
        double r352132 = r352111 + r352131;
        double r352133 = 3.350343815022304;
        double r352134 = fma(r352132, r352111, r352133);
        double r352135 = r352130 / r352134;
        double r352136 = r352135 + r352124;
        double r352137 = r352117 ? r352125 : r352136;
        return r352137;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	19.8
Target	0.2
Herbie	0.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -10803300379083948.0 or 5240042.359536213 < z

   1. Initial program 41.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

   2. Simplified 34.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 34.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   5. Applied associate-/r* 34.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   6. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

   7. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, 0.0692910599291888946 \cdot y\right) + x}\]

   if -10803300379083948.0 < z < 5240042.359536213

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 0.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   5. Applied associate-/r* 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   8. Applied sqrt-prod 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   9. Applied add-cube-cbrt 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   10. Applied sqrt-prod 0.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   11. Applied *-un-lft-identity 0.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot y}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   12. Applied times-frac 0.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{y}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   13. Applied times-frac 0.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{\frac{y}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   14. Simplified 0.3

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}{1}}} \cdot \frac{\frac{y}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   15. Simplified 0.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}{1}} \cdot \color{blue}{\frac{y}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
   16. Using strategy rm

   17. Applied fma-udef 0.2

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}{1}} \cdot \frac{y}{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) + x}\]

   18. Simplified 0.2

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} + x\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -10803300379083948 \lor \neg \left(z \le 5240042.35953621287\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, 0.0692910599291888946 \cdot y\right) + x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} + x\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020083 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))