Average Error: 29.8 → 0.1
Time: 4.4s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 3318.89906958905294:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 3318.89906958905294:\\
\;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r43255 = N;
        double r43256 = 1.0;
        double r43257 = r43255 + r43256;
        double r43258 = log(r43257);
        double r43259 = log(r43255);
        double r43260 = r43258 - r43259;
        return r43260;
}
↓
double f(double N) {
        double r43261 = N;
        double r43262 = 3318.899069589053;
        bool r43263 = r43261 <= r43262;
        double r43264 = 1.0;
        double r43265 = r43261 + r43264;
        double r43266 = log(r43265);
        double r43267 = cbrt(r43266);
        double r43268 = r43267 * r43267;
        double r43269 = r43268 * r43267;
        double r43270 = log(r43261);
        double r43271 = r43269 - r43270;
        double r43272 = 1.0;
        double r43273 = 2.0;
        double r43274 = pow(r43261, r43273);
        double r43275 = r43272 / r43274;
        double r43276 = 0.3333333333333333;
        double r43277 = r43276 / r43261;
        double r43278 = r43277 * r43277;
        double r43279 = 0.5;
        double r43280 = r43279 * r43279;
        double r43281 = r43278 - r43280;
        double r43282 = r43275 * r43281;
        double r43283 = r43282 * r43261;
        double r43284 = r43277 + r43279;
        double r43285 = r43284 * r43264;
        double r43286 = r43283 + r43285;
        double r43287 = r43284 * r43261;
        double r43288 = r43286 / r43287;
        double r43289 = r43263 ? r43271 : r43288;
        return r43289;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 3318.899069589053

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}} - \log N\]

    if 3318.899069589053 < N

    1. Initial program 59.3

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.333333333333333315 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--0.1

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 3318.89906958905294:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020083 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))