Average Error: 38.5 → 27.3
Time: 4.6s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3029551315611556 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.2063478159715929 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3638911906358806 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -1.3029551315611556 \cdot 10^{-303}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 9.2063478159715929 \cdot 10^{-169}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.3638911906358806 \cdot 10^{154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\right)}^{3}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\

\end{array}
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sqrt((2.0 * (sqrt(((re * re) + (im * im))) + re))));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double VAR;
	if ((re <= -1.3029551315611556e-303)) {
		VAR = (0.5 * sqrt((2.0 * (((im * im) + 0.0) / (sqrt(((re * re) + (im * im))) - re)))));
	} else {
		double VAR_1;
		if ((re <= 9.206347815971593e-169)) {
			VAR_1 = (0.5 * sqrt((2.0 * (im + re))));
		} else {
			double VAR_2;
			if ((re <= 1.3638911906358806e+154)) {
				VAR_2 = (0.5 * cbrt(pow(sqrt((2.0 * ((sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im)))) * sqrt(sqrt(((re * re) + (im * im))))) + re))), 3.0)));
			} else {
				VAR_2 = (0.5 * sqrt((4.0 * re)));
			}
			VAR_1 = VAR_2;
		}
		VAR = VAR_1;
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.5
Target33.6
Herbie27.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -1.3029551315611556e-303

    1. Initial program 46.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Simplified35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -1.3029551315611556e-303 < re < 9.206347815971593e-169

    1. Initial program 29.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 33.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]

    if 9.206347815971593e-169 < re < 1.3638911906358806e+154

    1. Initial program 16.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cbrt-cube16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

    4. Simplified16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\right)}^{3}}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\right)}^{3}}\]

    7. Applied sqrt-prod16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\right)}^{3}}\]

    if 1.3638911906358806e+154 < re

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 8.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4 \cdot re}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification27.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -1.3029551315611556 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 9.2063478159715929 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.3638911906358806 \cdot 10^{154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020079 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))