Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 12.3 → 9.3

Time: 6.1s

Precision: 64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -4.79019089907351 \cdot 10^{-58} \lor \neg \left(x \le 13.7871294337804233\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-y, i, y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x \cdot z\right) \cdot y + \left(x \cdot \left(-a\right)\right) \cdot t\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return (((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double VAR;
	if (((x <= -4.7901908990735094e-58) || !(x <= 13.787129433780423))) {
		VAR = ((((x * (y * z)) + (x * -(t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + ((j * fma(a, c, -(y * i))) + (j * fma(-y, i, (y * i)))));
	} else {
		VAR = (((((x * z) * y) + ((x * -a) * t)) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.3
Target	20.1
Herbie	9.3

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.7901908990735094e-58 or 13.787129433780423 < x

   1. Initial program 7.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 7.9

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 7.9

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied prod-diff 7.9

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\]

   7. Applied distribute-lft-in 7.9

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(j \cdot \mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\]

   8. Simplified 7.9

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(\color{blue}{j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right)} + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)\]

   9. Simplified 7.9

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right) + \color{blue}{j \cdot \mathsf{fma}\left(-y, i, y \cdot i\right)}\right)\]

   if -4.7901908990735094e-58 < x < 13.787129433780423

   1. Initial program 15.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied sub-neg 15.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   4. Applied distribute-lft-in 15.7

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-commutative 15.7

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-\color{blue}{a \cdot t}\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   7. Applied distribute-lft-neg-in 15.7

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \color{blue}{\left(\left(-a\right) \cdot t\right)}\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   8. Applied associate-*r* 12.9

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + \color{blue}{\left(x \cdot \left(-a\right)\right) \cdot t}\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied *-commutative 12.9

       \[\leadsto \left(\left(x \cdot \color{blue}{\left(z \cdot y\right)} + \left(x \cdot \left(-a\right)\right) \cdot t\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   11. Applied associate-*r* 10.3

       \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(x \cdot z\right) \cdot y} + \left(x \cdot \left(-a\right)\right) \cdot t\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 9.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -4.79019089907351 \cdot 10^{-58} \lor \neg \left(x \le 13.7871294337804233\right):\\ \;\;\;\;\left(\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-y, i, y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(x \cdot z\right) \cdot y + \left(x \cdot \left(-a\right)\right) \cdot t\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020078 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))