Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)

Average Error: 0.5 → 0.3

Time: 8.9s

Precision: 64

Math

\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

↓

\[\left(\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot t} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

C

double code(double v, double t) {
	return ((1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((((double) M_PI) * t) * sqrt((2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v)))))) * (1.0 - (v * v))));
}

↓

double code(double v, double t) {
	return (((((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((double) M_PI)) / (((sqrt((2.0 * (pow((1.0 * 1.0), 3.0) - pow(((3.0 * (v * v)) * (3.0 * (v * v))), 3.0)))) * fma(1.0, 1.0, pow(v, 4.0))) * ((1.0 * 1.0) - ((v * v) * (v * v)))) * t)) * (sqrt((((1.0 * 1.0) * (1.0 * 1.0)) + ((((3.0 * (v * v)) * (3.0 * (v * v))) * ((3.0 * (v * v)) * (3.0 * (v * v)))) + ((1.0 * 1.0) * ((3.0 * (v * v)) * (3.0 * (v * v))))))) * ((1.0 * 1.0) + ((v * v) * (v * v))))) * (sqrt((1.0 + (3.0 * (v * v)))) * (1.0 + (v * v))));
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

1. Initial program 0.5

   \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
2. Using strategy rm

3. Applied flip-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}}\]

4. Applied flip-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

5. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

6. Applied sqrt-div 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

7. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

8. Applied frac-times 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}}}\]

9. Applied associate-/r/ 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)}\]
10. Using strategy rm

11. Applied flip-- 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

12. Applied flip3-- 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

13. Applied associate-*r/ 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

14. Applied sqrt-div 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)}}{\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

15. Applied associate-*r/ 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)}}{\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

16. Applied frac-times 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

17. Applied associate-/r/ 0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

18. Simplified 0.5

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi \cdot t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]
19. Using strategy rm

20. Applied associate-/r* 0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]
21. Using strategy rm

22. Applied div-inv 0.4

    \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi} \cdot \frac{1}{t}}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

23. Applied associate-/l* 0.4

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\frac{\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\frac{1}{t}}}} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

24. Simplified 0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\color{blue}{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot t}} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

25. Final simplification 0.3

    \[\leadsto \left(\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\left(\sqrt{2 \cdot \left({\left(1 \cdot 1\right)}^{3} - {\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot t} \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) + \left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020078 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  :precision binary64
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))