Average Error: 12.5 → 12.9
Time: 5.4s
Precision: 64
\[1.00000000000000001 \cdot 10^{-150} \lt \left|x\right| \lt 9.99999999999999981 \cdot 10^{149}\]
\[\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\]
↓
\[\sqrt{0.5 \cdot e^{\left(\sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}\]
\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}
↓
\sqrt{0.5 \cdot e^{\left(\sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}
double code(double p, double x) {
	return sqrt((0.5 * (1.0 + (x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))));
}
↓
double code(double p, double x) {
	return sqrt((0.5 * exp(((cbrt(log(((pow(1.0, 3.0) + pow((x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))), 3.0)) / ((1.0 * (1.0 - (x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))) + ((x * x) / (((4.0 * p) * p) + (x * x))))))) * cbrt(log(((pow(1.0, 3.0) + pow((x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))), 3.0)) / ((1.0 * (1.0 - (x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))) + ((x * x) / (((4.0 * p) * p) + (x * x)))))))) * cbrt(log(((pow(1.0, 3.0) + pow((x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))), 3.0)) / ((1.0 * (1.0 - (x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))) + ((x * x) / (((4.0 * p) * p) + (x * x)))))))))));
}

Error

Bits error versus p

Bits error versus x

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original12.5
Target12.4
Herbie12.9
\[\sqrt{0.5 + \frac{\mathsf{copysign}\left(0.5, x\right)}{\mathsf{hypot}\left(1, \frac{2 \cdot p}{x}\right)}}\]

Derivation

  1. Initial program 12.5

    \[\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-exp-log12.5

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \color{blue}{e^{\log \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied flip3-+12.5

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot e^{\log \color{blue}{\left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} - 1 \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\right)}}}\]

  6. Simplified12.5

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot e^{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\color{blue}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-cube-cbrt12.9

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot e^{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}}\]

  9. Final simplification12.9

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot e^{\left(\sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot \left(1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) + \frac{x \cdot x}{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020078 
(FPCore (p x)
  :name "Given's Rotation SVD example"
  :precision binary64
  :pre (< 1e-150 (fabs x) 1e+150)

  :herbie-target
  (sqrt (+ 0.5 (/ (copysign 0.5 x) (hypot 1 (/ (* 2 p) x)))))

  (sqrt (* 0.5 (+ 1 (/ x (sqrt (+ (* (* 4 p) p) (* x x))))))))