Average Error: 13.3 → 13.3
Time: 6.4s
Precision: 64
\[1.00000000000000001 \cdot 10^{-150} \lt \left|x\right| \lt 9.99999999999999981 \cdot 10^{149}\]
\[\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\]
↓
\[\sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \left(\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1} - {\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}^{3}\right) + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \left(\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right) + \frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right), \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]
\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}
↓
\sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \left(\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1} - {\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}^{3}\right) + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \left(\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right) + \frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right), \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}
double code(double p, double x) {
	return sqrt((0.5 * (1.0 + (x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))));
}
↓
double code(double p, double x) {
	return sqrt((0.5 * ((pow(1.0, 3.0) + pow((x / sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))), 3.0)) / fma(1.0, ((((cbrt(1.0) * cbrt(1.0)) * cbrt(1.0)) - pow((cbrt(x) / cbrt(sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x))))), 3.0)) + ((1.0 / (cbrt(sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))) * cbrt(sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))) * (-(x / cbrt(sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x))))) + (x / cbrt(sqrt((((4.0 * p) * p) + (x * x)))))))), (pow(x, 2.0) / fma((4.0 * p), p, (x * x)))))));
}

Error

Bits error versus p

Bits error versus x

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Target

Original13.3
Target13.3
Herbie13.3
\[\sqrt{0.5 + \frac{\mathsf{copysign}\left(0.5, x\right)}{\mathsf{hypot}\left(1, \frac{2 \cdot p}{x}\right)}}\]

Derivation

  1. Initial program 13.3

    \[\sqrt{0.5 \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip3-+13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} - 1 \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}}}\]

  4. Simplified13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1, 1 - \frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cube-cbrt13.4

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 - \frac{x}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  7. Applied add-cube-cbrt13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 - \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  8. Applied times-frac13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 - \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  9. Applied add-cube-cbrt13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1}} - \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  10. Applied prod-diff13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}, \sqrt[3]{1}, -\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right) + \mathsf{fma}\left(-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  11. Simplified13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1} - {\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}^{3}\right)} + \mathsf{fma}\left(-\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}, \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right), \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  12. Simplified13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \left(\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1} - {\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}^{3}\right) + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \left(\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right) + \frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}, \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

  13. Final simplification13.3

    \[\leadsto \sqrt{0.5 \cdot \frac{{1}^{3} + {\left(\frac{x}{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(1, \left(\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1} - {\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right)}^{3}\right) + \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}} \cdot \left(\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right) + \frac{x}{\sqrt[3]{\sqrt{\left(4 \cdot p\right) \cdot p + x \cdot x}}}\right), \frac{{x}^{2}}{\mathsf{fma}\left(4 \cdot p, p, x \cdot x\right)}\right)}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020075 +o rules:numerics
(FPCore (p x)
  :name "Given's Rotation SVD example"
  :precision binary64
  :pre (< 1e-150 (fabs x) 1e+150)

  :herbie-target
  (sqrt (+ 0.5 (/ (copysign 0.5 x) (hypot 1 (/ (* 2 p) x)))))

  (sqrt (* 0.5 (+ 1 (/ x (sqrt (+ (* (* 4 p) p) (* x x))))))))