NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 30.1 → 1.0

Time: 5.2s

Precision: 64

• could not determine a ground truth for program body

  1. x = -5.82365347619112e+126
  2. eps = 1.1430041436012933e-89

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 330.46423576118536:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{{x}^{2} \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot x\right) - 1 \cdot 1\right)}{0.66666666666666674 \cdot x + 1}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double eps) {
	return ((((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0);
}

↓

double code(double x, double eps) {
	double VAR;
	if ((x <= 330.46423576118536)) {
		VAR = ((2.0 + ((pow(x, 2.0) * (((0.6666666666666667 * x) * (0.6666666666666667 * x)) - (1.0 * 1.0))) / ((0.6666666666666667 * x) + 1.0))) / 2.0);
	} else {
		VAR = ((((1.0 + (1.0 / eps)) * exp(-((1.0 - eps) * x))) - (((1.0 / eps) - 1.0) * exp(-((1.0 + eps) * x)))) / 2.0);
	}
	return VAR;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 330.46423576118536

   1. Initial program 39.2

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Taylor expanded around 0 1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied +-commutative 1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 + 0.66666666666666674 \cdot {x}^{3}\right)} - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

   5. Applied associate--l+ 1.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(0.66666666666666674 \cdot {x}^{3} - 1 \cdot {x}^{2}\right)}}{2}\]

   6. Simplified 1.3

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot x - 1\right)}}{2}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip-- 1.3

      \[\leadsto \frac{2 + {x}^{2} \cdot \color{blue}{\frac{\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot x\right) - 1 \cdot 1}{0.66666666666666674 \cdot x + 1}}}{2}\]

   9. Applied associate-*r/ 1.3

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\frac{{x}^{2} \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot x\right) - 1 \cdot 1\right)}{0.66666666666666674 \cdot x + 1}}}{2}\]

   if 330.46423576118536 < x

   1. Initial program 0.1

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 330.46423576118536:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \frac{{x}^{2} \cdot \left(\left(0.66666666666666674 \cdot x\right) \cdot \left(0.66666666666666674 \cdot x\right) - 1 \cdot 1\right)}{0.66666666666666674 \cdot x + 1}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020071 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))