Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)

Average Error: 0.5 → 0.1

Time: 7.1s

Precision: 64

Math

\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

↓

\[\left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \left(1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v, v, 1\right) \cdot \left(\left(1 - {v}^{2}\right) \cdot t\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

C

double code(double v, double t) {
	return ((1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((((double) M_PI) * t) * sqrt((2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v)))))) * (1.0 - (v * v))));
}

↓

double code(double v, double t) {
	return (((((((1.0 / ((double) M_PI)) / (sqrt((2.0 * ((1.0 * 1.0) - ((3.0 * (v * v)) * (3.0 * (v * v)))))) * fma(1.0, 1.0, pow(v, 4.0)))) * (1.0 - (5.0 * (v * v)))) / (fma(1.0, 1.0, pow(v, 4.0)) * (fma(v, v, 1.0) * ((1.0 - pow(v, 2.0)) * t)))) * ((1.0 * 1.0) + ((v * v) * (v * v)))) * ((1.0 * 1.0) + ((v * v) * (v * v)))) * (sqrt((1.0 + (3.0 * (v * v)))) * (1.0 + (v * v))));
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

1. Initial program 0.5

   \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
2. Using strategy rm

3. Applied flip-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}}\]

4. Applied flip-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

5. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

6. Applied sqrt-div 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

7. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \frac{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}{1 + v \cdot v}}\]

8. Applied frac-times 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)}}}\]

9. Applied associate-/r/ 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)}\]
10. Using strategy rm

11. Applied flip-- 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

12. Applied associate-*r/ 0.5

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

13. Applied associate-/r/ 0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

14. Simplified 0.4

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi \cdot t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]
15. Using strategy rm

16. Applied *-un-lft-identity 0.4

    \[\leadsto \left(\frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot \left(1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\pi \cdot t}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

17. Applied times-frac 0.4

    \[\leadsto \left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{t}}}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

18. Applied times-frac 0.3

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{t}}{1 \cdot 1 - \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]
19. Using strategy rm

20. Applied flip-- 0.3

    \[\leadsto \left(\left(\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{t}}{\color{blue}{\frac{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

21. Applied associate-/r/ 0.3

    \[\leadsto \left(\left(\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \color{blue}{\left(\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

22. Applied associate-*r* 0.3

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

23. Simplified 0.1

    \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \left(1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v, v, 1\right) \cdot \left(\left(1 - {v}^{2}\right) \cdot t\right)\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

24. Final simplification 0.1

    \[\leadsto \left(\left(\frac{\frac{\frac{1}{\pi}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right)} \cdot \left(1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1, {v}^{4}\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(v, v, 1\right) \cdot \left(\left(1 - {v}^{2}\right) \cdot t\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 + v \cdot v\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020066 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  :precision binary64
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))