Average Error: 29.6 → 0.1
Time: 3.7s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 3541.91441017856005:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 3541.91441017856005:\\
\;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r72165 = N;
        double r72166 = 1.0;
        double r72167 = r72165 + r72166;
        double r72168 = log(r72167);
        double r72169 = log(r72165);
        double r72170 = r72168 - r72169;
        return r72170;
}
↓
double f(double N) {
        double r72171 = N;
        double r72172 = 3541.91441017856;
        bool r72173 = r72171 <= r72172;
        double r72174 = 1.0;
        double r72175 = r72171 + r72174;
        double r72176 = log(r72175);
        double r72177 = cbrt(r72176);
        double r72178 = r72177 * r72177;
        double r72179 = r72178 * r72177;
        double r72180 = log(r72171);
        double r72181 = r72179 - r72180;
        double r72182 = 1.0;
        double r72183 = 2.0;
        double r72184 = pow(r72171, r72183);
        double r72185 = r72182 / r72184;
        double r72186 = 0.3333333333333333;
        double r72187 = r72186 / r72171;
        double r72188 = r72187 * r72187;
        double r72189 = 0.5;
        double r72190 = r72189 * r72189;
        double r72191 = r72188 - r72190;
        double r72192 = r72185 * r72191;
        double r72193 = r72192 * r72171;
        double r72194 = r72187 + r72189;
        double r72195 = r72194 * r72174;
        double r72196 = r72193 + r72195;
        double r72197 = r72194 * r72171;
        double r72198 = r72196 / r72197;
        double r72199 = r72173 ? r72181 : r72198;
        return r72199;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 3541.91441017856

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}} - \log N\]

    if 3541.91441017856 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.333333333333333315 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)}{\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 3541.91441017856005:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\log \left(N + 1\right)} - \log N\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.333333333333333315}{N} \cdot \frac{0.333333333333333315}{N} - 0.5 \cdot 0.5\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.333333333333333315}{N} + 0.5\right) \cdot N}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020065 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))