Average Error: 20.0 → 0.4
Time: 4.0s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r493758 = x;
        double r493759 = y;
        double r493760 = z;
        double r493761 = 0.0692910599291889;
        double r493762 = r493760 * r493761;
        double r493763 = 0.4917317610505968;
        double r493764 = r493762 + r493763;
        double r493765 = r493764 * r493760;
        double r493766 = 0.279195317918525;
        double r493767 = r493765 + r493766;
        double r493768 = r493759 * r493767;
        double r493769 = 6.012459259764103;
        double r493770 = r493760 + r493769;
        double r493771 = r493770 * r493760;
        double r493772 = 3.350343815022304;
        double r493773 = r493771 + r493772;
        double r493774 = r493768 / r493773;
        double r493775 = r493758 + r493774;
        return r493775;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r493776 = z;
        double r493777 = -1013188501759.4564;
        bool r493778 = r493776 <= r493777;
        double r493779 = 1.075597970485127e-07;
        bool r493780 = r493776 <= r493779;
        double r493781 = !r493780;
        bool r493782 = r493778 || r493781;
        double r493783 = 0.07512208616047561;
        double r493784 = r493783 / r493776;
        double r493785 = y;
        double r493786 = 0.0692910599291889;
        double r493787 = x;
        double r493788 = fma(r493785, r493786, r493787);
        double r493789 = fma(r493784, r493785, r493788);
        double r493790 = 0.4917317610505968;
        double r493791 = fma(r493776, r493786, r493790);
        double r493792 = 0.279195317918525;
        double r493793 = fma(r493791, r493776, r493792);
        double r493794 = 6.012459259764103;
        double r493795 = r493776 + r493794;
        double r493796 = 3.350343815022304;
        double r493797 = fma(r493795, r493776, r493796);
        double r493798 = r493793 / r493797;
        double r493799 = r493798 * r493785;
        double r493800 = r493799 + r493787;
        double r493801 = r493782 ? r493789 : r493800;
        return r493801;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.0
Target0.2
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -1013188501759.4564 or 1.075597970485127e-07 < z

    1. Initial program 40.0

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified33.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

    if -1013188501759.4564 < z < 1.075597970485127e-07

    1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied clear-num0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied fma-udef0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) + x}\]

    7. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}} + x\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied associate-/r/0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y} + x\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020060 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))