Average Error: 20.0 → 0.4
Time: 4.1s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r453822 = x;
        double r453823 = y;
        double r453824 = z;
        double r453825 = 0.0692910599291889;
        double r453826 = r453824 * r453825;
        double r453827 = 0.4917317610505968;
        double r453828 = r453826 + r453827;
        double r453829 = r453828 * r453824;
        double r453830 = 0.279195317918525;
        double r453831 = r453829 + r453830;
        double r453832 = r453823 * r453831;
        double r453833 = 6.012459259764103;
        double r453834 = r453824 + r453833;
        double r453835 = r453834 * r453824;
        double r453836 = 3.350343815022304;
        double r453837 = r453835 + r453836;
        double r453838 = r453832 / r453837;
        double r453839 = r453822 + r453838;
        return r453839;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r453840 = z;
        double r453841 = -1013188501759.4564;
        bool r453842 = r453840 <= r453841;
        double r453843 = 1.075597970485127e-07;
        bool r453844 = r453840 <= r453843;
        double r453845 = !r453844;
        bool r453846 = r453842 || r453845;
        double r453847 = 0.07512208616047561;
        double r453848 = r453847 / r453840;
        double r453849 = y;
        double r453850 = 0.0692910599291889;
        double r453851 = x;
        double r453852 = fma(r453849, r453850, r453851);
        double r453853 = fma(r453848, r453849, r453852);
        double r453854 = 0.4917317610505968;
        double r453855 = fma(r453840, r453850, r453854);
        double r453856 = 0.279195317918525;
        double r453857 = fma(r453855, r453840, r453856);
        double r453858 = 6.012459259764103;
        double r453859 = r453840 + r453858;
        double r453860 = 3.350343815022304;
        double r453861 = fma(r453859, r453840, r453860);
        double r453862 = r453857 / r453861;
        double r453863 = r453862 * r453849;
        double r453864 = r453863 + r453851;
        double r453865 = r453846 ? r453853 : r453864;
        return r453865;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.0
Target0.2
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -1013188501759.4564 or 1.075597970485127e-07 < z

    1. Initial program 40.0

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified33.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

    if -1013188501759.4564 < z < 1.075597970485127e-07

    1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied clear-num0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied fma-udef0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) + x}\]

    7. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}} + x\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied associate-/r/0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y} + x\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1013188501759.45642 \lor \neg \left(z \le 1.075597970485127 \cdot 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020060 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))