Average Error: 0.5 → 0.5
Time: 11.2s
Precision: 64
\[\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)}\]
↓
\[\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \left(\left(-\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right) + \frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right)\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x - \cos y\right)\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]
\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)}
↓
\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \left(\left(-\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right) + \frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right)\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x - \cos y\right)\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}
double code(double x, double y) {
	return ((2.0 + (((sqrt(2.0) * (sin(x) - (sin(y) / 16.0))) * (sin(y) - (sin(x) / 16.0))) * (cos(x) - cos(y)))) / (3.0 * ((1.0 + (((sqrt(5.0) - 1.0) / 2.0) * cos(x))) + (((3.0 - sqrt(5.0)) / 2.0) * cos(y)))));
}
↓
double code(double x, double y) {
	return ((fma(((sqrt(2.0) * fma(1.0, sin(x), -((sin(y) / cbrt(16.0)) * (1.0 / (cbrt(16.0) * cbrt(16.0)))))) + (sqrt(2.0) * ((1.0 / (cbrt(16.0) * cbrt(16.0))) * (-(sin(y) / cbrt(16.0)) + (sin(y) / cbrt(16.0)))))), ((sin(y) - (sin(x) / 16.0)) * log1p(expm1((cos(x) - cos(y))))), 2.0) / fma(((3.0 - sqrt(5.0)) / 2.0), cos(y), fma(((sqrt(5.0) - 1.0) / 2.0), cos(x), 1.0))) / 3.0);
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\frac{2 + \left(\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right)\right) \cdot \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right)\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right)}{3 \cdot \left(\left(1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot \cos x\right) + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \cdot \cos y\right)}\]

  2. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{16}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-cube-cbrt0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\sin y}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}\right) \cdot \sqrt[3]{16}}}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  5. Applied add-cube-cbrt0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}\right) \cdot \sqrt[3]{\sin y}}}{\left(\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}\right) \cdot \sqrt[3]{16}}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  6. Applied times-frac0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \left(\sin x - \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}}}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  7. Applied add-sqr-sqrt32.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\sin x}} - \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  8. Applied prod-diff32.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sin x}, \sqrt{\sin x}, -\frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \mathsf{fma}\left(-\frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right)\right)}, \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  9. Applied distribute-lft-in32.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sin x}, \sqrt{\sin x}, -\frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(-\frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right)}, \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  10. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right)} + \sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(-\frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}, \frac{\sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sin y} \cdot \sqrt[3]{\sin y}}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  11. Simplified0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \color{blue}{\sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \left(\left(-\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right) + \frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right)\right)}, \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \left(\cos x - \cos y\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]
  12. Using strategy rm

  13. Applied log1p-expm1-u0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \left(\left(-\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right) + \frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right)\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x - \cos y\right)\right)}, 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

  14. Final simplification0.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2} \cdot \mathsf{fma}\left(1, \sin x, -\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}}\right) + \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{16}} \cdot \left(\left(-\frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right) + \frac{\sin y}{\sqrt[3]{16}}\right)\right), \left(\sin y - \frac{\sin x}{16}\right) \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos x - \cos y\right)\right), 2\right)}{\mathsf{fma}\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \cos y, \mathsf{fma}\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \cos x, 1\right)\right)}}{3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020057 +o rules:numerics
(FPCore (x y)
  :name "Diagrams.TwoD.Path.Metafont.Internal:hobbyF from diagrams-contrib-1.3.0.5"
  :precision binary64
  (/ (+ 2 (* (* (* (sqrt 2) (- (sin x) (/ (sin y) 16))) (- (sin y) (/ (sin x) 16))) (- (cos x) (cos y)))) (* 3 (+ (+ 1 (* (/ (- (sqrt 5) 1) 2) (cos x))) (* (/ (- 3 (sqrt 5)) 2) (cos y))))))