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\[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]
↓
\[\sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left({v}^{2} \cdot \left({v}^{2} + 1\right) + 1 \cdot 1\right)\right)}^{3}}\]
\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}
↓
\sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left({v}^{2} \cdot \left({v}^{2} + 1\right) + 1 \cdot 1\right)\right)}^{3}}
double code(double v) {
	return (4.0 / (((3.0 * ((double) M_PI)) * (1.0 - (v * v))) * sqrt((2.0 - (6.0 * (v * v))))));
}
↓
double code(double v) {
	return cbrt((pow((4.0 / (((3.0 * ((double) M_PI)) * (pow(1.0, 3.0) - pow((v * v), 3.0))) * sqrt(((2.0 * 2.0) - ((6.0 * (v * v)) * (6.0 * (v * v))))))), 3.0) * pow((sqrt((2.0 + (6.0 * (v * v)))) * ((pow(v, 2.0) * (pow(v, 2.0) + 1.0)) + (1.0 * 1.0))), 3.0)));
}

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Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cbrt-cube1.0

    \[\leadsto \frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\]

  4. Applied add-cbrt-cube1.0

    \[\leadsto \frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\]

  5. Applied add-cbrt-cube1.6

    \[\leadsto \frac{4}{\left(\left(3 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\]

  6. Applied add-cbrt-cube1.6

    \[\leadsto \frac{4}{\left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3}} \cdot \sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\]

  7. Applied cbrt-unprod1.0

    \[\leadsto \frac{4}{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\]

  8. Applied cbrt-unprod1.0

    \[\leadsto \frac{4}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\]

  9. Applied cbrt-unprod1.0

    \[\leadsto \frac{4}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}}}\]

  10. Applied add-cbrt-cube1.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(4 \cdot 4\right) \cdot 4}}}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}}\]

  11. Applied cbrt-undiv0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(4 \cdot 4\right) \cdot 4}{\left(\left(\left(\left(3 \cdot 3\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}}}\]

  12. Simplified0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\right)}^{3}}}\]
  13. Using strategy rm

  14. Applied flip--0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\right)}^{3}}\]

  15. Applied sqrt-div0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\right)}^{3}}\]

  16. Applied flip3--0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right) \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right)}^{3}}\]

  17. Applied associate-*r/0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\color{blue}{\frac{\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right)}^{3}}\]

  18. Applied frac-times0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\color{blue}{\frac{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\right)}^{3}}\]

  19. Applied associate-/r/0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)}}^{3}}\]

  20. Applied unpow-prod-down0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}^{3}}}\]

  21. Simplified0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left({v}^{2} \cdot \left({v}^{2} + 1\right) + 1 \cdot 1\right)\right)}^{3}}}\]

  22. Final simplification0.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{{\left(\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot 2 - \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(6 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\right)}^{3} \cdot {\left(\sqrt{2 + 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left({v}^{2} \cdot \left({v}^{2} + 1\right) + 1 \cdot 1\right)\right)}^{3}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020057 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (22+)"
  :precision binary64
  (/ 4 (* (* (* 3 PI) (- 1 (* v v))) (sqrt (- 2 (* 6 (* v v)))))))