Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

Average Error: 11.9 → 12.1

Time: 17.7s

Precision: 64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le -1.89359557019852867 \cdot 10^{201}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 1.2556142559561608 \cdot 10^{55}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 2.24214501594366615 \cdot 10^{109}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 1.3840302523187661 \cdot 10^{213}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \left(x \cdot \left(\sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return (((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double temp;
	if ((t <= -1.8935955701985287e+201)) {
		temp = fma(t, (i * b), -fma(z, (b * c), (t * (x * a))));
	} else {
		double temp_1;
		if ((t <= 1.2556142559561608e+55)) {
			temp_1 = fma(((c * a) - (y * i)), j, (((cbrt(((cbrt(x) * cbrt(x)) * (cbrt(x) * ((y * z) - (t * a))))) * cbrt(((cbrt(x) * cbrt(x)) * (cbrt(x) * ((y * z) - (t * a)))))) * cbrt(((cbrt(x) * cbrt(x)) * (cbrt(x) * ((y * z) - (t * a)))))) - ((b * ((z * c) - (t * i))) + (b * fma(-i, t, (i * t))))));
		} else {
			double temp_2;
			if ((t <= 2.242145015943666e+109)) {
				temp_2 = fma(t, (i * b), -fma(z, (b * c), (t * (x * a))));
			} else {
				double temp_3;
				if ((t <= 1.384030252318766e+213)) {
					temp_3 = fma(((c * a) - (y * i)), j, (((x * (cbrt(((y * z) - (t * a))) * cbrt(((y * z) - (t * a))))) * cbrt(((y * z) - (t * a)))) - ((b * ((z * c) - (t * i))) + (b * fma(-i, t, (i * t))))));
				} else {
					temp_3 = fma(t, (i * b), -fma(z, (b * c), (t * (x * a))));
				}
				temp_2 = temp_3;
			}
			temp_1 = temp_2;
		}
		temp = temp_1;
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	11.9
Target	19.8
Herbie	12.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.46969429677770502 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if t < -1.8935955701985287e+201 or 1.2556142559561608e+55 < t < 2.242145015943666e+109 or 1.384030252318766e+213 < t

   1. Initial program 22.5

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Simplified 22.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\]

   3. Taylor expanded around inf 21.7

      \[\leadsto \color{blue}{t \cdot \left(i \cdot b\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)}\]

   4. Simplified 21.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)}\]

   if -1.8935955701985287e+201 < t < 1.2556142559561608e+55

   1. Initial program 9.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Simplified 9.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied prod-diff 9.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, z, -i \cdot t\right) + \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)}\right)\]

   5. Applied distribute-lft-in 9.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \mathsf{fma}\left(c, z, -i \cdot t\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)}\right)\]

   6. Simplified 9.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)} + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied add-cube-cbrt 10.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]

   9. Applied associate-*l* 10.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]
   10. Using strategy rm

   11. Applied add-cube-cbrt 10.2

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)}} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]

   if 2.242145015943666e+109 < t < 1.384030252318766e+213

   1. Initial program 16.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

   2. Simplified 16.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied prod-diff 16.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, z, -i \cdot t\right) + \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)}\right)\]

   5. Applied distribute-lft-in 16.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \mathsf{fma}\left(c, z, -i \cdot t\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)}\right)\]

   6. Simplified 16.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)} + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied add-cube-cbrt 16.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, x \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right)} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]

   9. Applied associate-*r* 16.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \color{blue}{\left(x \cdot \left(\sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 12.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le -1.89359557019852867 \cdot 10^{201}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 1.2556142559561608 \cdot 10^{55}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 2.24214501594366615 \cdot 10^{109}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 1.3840302523187661 \cdot 10^{213}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot a - y \cdot i, j, \left(x \cdot \left(\sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a} - \left(b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-i, t, i \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(t, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, t \cdot \left(x \cdot a\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020049 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))