Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3

Average Error: 12.2 → 11.8

Time: 9.3s

Precision: 64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -4.88036432040742027 \cdot 10^{212} \lor \neg \left(a \le 3.02750195058074553 \cdot 10^{148}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)\\ \end{array}\]

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return (((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (i * a)))) + (j * ((c * t) - (i * y))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double temp;
	if (((a <= -4.88036432040742e+212) || !(a <= 3.0275019505807455e+148))) {
		temp = fma(a, (i * b), -fma(z, (b * c), (a * (x * t))));
	} else {
		temp = fma(((c * t) - (i * y)), j, (((cbrt(x) * cbrt(x)) * (cbrt(x) * ((y * z) - (t * a)))) - (b * ((c * z) - (i * a)))));
	}
	return temp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.2
Target	15.9
Herbie	11.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \lt -8.1209789191959122 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt -4.7125538182184851 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t \lt -7.63353334603158369 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt 1.0535888557455487 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if a < -4.88036432040742e+212 or 3.0275019505807455e+148 < a

   1. Initial program 24.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   2. Simplified 24.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)}\]

   3. Taylor expanded around inf 19.6

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(i \cdot b\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)}\]

   4. Simplified 19.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)}\]

   if -4.88036432040742e+212 < a < 3.0275019505807455e+148

   1. Initial program 10.4

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

   2. Simplified 10.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-cube-cbrt 10.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)\]

   5. Applied associate-*l* 10.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 11.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -4.88036432040742027 \cdot 10^{212} \lor \neg \left(a \le 3.02750195058074553 \cdot 10^{148}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020049 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2) (pow (* i y) 2))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2) (pow (* i y) 2))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))