Average Error: 20.0 → 0.1
Time: 4.2s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -3.36903654096377077 \cdot 10^{69} \lor \neg \left(z \le 2180725.6674509291\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + y \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -3.36903654096377077 \cdot 10^{69} \lor \neg \left(z \le 2180725.6674509291\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;x + y \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r323836 = x;
        double r323837 = y;
        double r323838 = z;
        double r323839 = 0.0692910599291889;
        double r323840 = r323838 * r323839;
        double r323841 = 0.4917317610505968;
        double r323842 = r323840 + r323841;
        double r323843 = r323842 * r323838;
        double r323844 = 0.279195317918525;
        double r323845 = r323843 + r323844;
        double r323846 = r323837 * r323845;
        double r323847 = 6.012459259764103;
        double r323848 = r323838 + r323847;
        double r323849 = r323848 * r323838;
        double r323850 = 3.350343815022304;
        double r323851 = r323849 + r323850;
        double r323852 = r323846 / r323851;
        double r323853 = r323836 + r323852;
        return r323853;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r323854 = z;
        double r323855 = -3.3690365409637708e+69;
        bool r323856 = r323854 <= r323855;
        double r323857 = 2180725.667450929;
        bool r323858 = r323854 <= r323857;
        double r323859 = !r323858;
        bool r323860 = r323856 || r323859;
        double r323861 = 0.07512208616047561;
        double r323862 = r323861 / r323854;
        double r323863 = y;
        double r323864 = 0.0692910599291889;
        double r323865 = x;
        double r323866 = fma(r323863, r323864, r323865);
        double r323867 = fma(r323862, r323863, r323866);
        double r323868 = 0.4917317610505968;
        double r323869 = fma(r323854, r323864, r323868);
        double r323870 = 0.279195317918525;
        double r323871 = fma(r323869, r323854, r323870);
        double r323872 = 1.0;
        double r323873 = r323871 * r323872;
        double r323874 = 6.012459259764103;
        double r323875 = r323854 + r323874;
        double r323876 = 3.350343815022304;
        double r323877 = fma(r323875, r323854, r323876);
        double r323878 = r323873 / r323877;
        double r323879 = r323863 * r323878;
        double r323880 = r323865 + r323879;
        double r323881 = r323860 ? r323867 : r323880;
        return r323881;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.0
Target0.2
Herbie0.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -3.3690365409637708e+69 or 2180725.667450929 < z

    1. Initial program 45.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified38.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

    if -3.3690365409637708e+69 < z < 2180725.667450929

    1. Initial program 0.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-un-lft-identity0.8

      \[\leadsto x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394\right)}}\]

    4. Applied times-frac0.1

      \[\leadsto x + \color{blue}{\frac{y}{1} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}}\]

    5. Simplified0.1

      \[\leadsto x + \color{blue}{y} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    6. Simplified0.1

      \[\leadsto x + y \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -3.36903654096377077 \cdot 10^{69} \lor \neg \left(z \le 2180725.6674509291\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + y \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) \cdot 1}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020047 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))