Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.3 → 0.1

Time: 4.8s

Precision: 64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -897232587.50048161 \lor \neg \left(z \le 72489.2439122225187\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r328255 = x;
        double r328256 = y;
        double r328257 = z;
        double r328258 = 0.0692910599291889;
        double r328259 = r328257 * r328258;
        double r328260 = 0.4917317610505968;
        double r328261 = r328259 + r328260;
        double r328262 = r328261 * r328257;
        double r328263 = 0.279195317918525;
        double r328264 = r328262 + r328263;
        double r328265 = r328256 * r328264;
        double r328266 = 6.012459259764103;
        double r328267 = r328257 + r328266;
        double r328268 = r328267 * r328257;
        double r328269 = 3.350343815022304;
        double r328270 = r328268 + r328269;
        double r328271 = r328265 / r328270;
        double r328272 = r328255 + r328271;
        return r328272;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r328273 = z;
        double r328274 = -897232587.5004816;
        bool r328275 = r328273 <= r328274;
        double r328276 = 72489.24391222252;
        bool r328277 = r328273 <= r328276;
        double r328278 = !r328277;
        bool r328279 = r328275 || r328278;
        double r328280 = 0.07512208616047561;
        double r328281 = r328280 / r328273;
        double r328282 = y;
        double r328283 = 0.0692910599291889;
        double r328284 = x;
        double r328285 = fma(r328282, r328283, r328284);
        double r328286 = fma(r328281, r328282, r328285);
        double r328287 = 6.012459259764103;
        double r328288 = r328273 + r328287;
        double r328289 = 3.350343815022304;
        double r328290 = fma(r328288, r328273, r328289);
        double r328291 = r328282 / r328290;
        double r328292 = 0.4917317610505968;
        double r328293 = fma(r328273, r328283, r328292);
        double r328294 = 0.279195317918525;
        double r328295 = fma(r328293, r328273, r328294);
        double r328296 = fma(r328291, r328295, r328284);
        double r328297 = r328279 ? r328286 : r328296;
        return r328297;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.3
Target	0.1
Herbie	0.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -897232587.5004816 or 72489.24391222252 < z

   1. Initial program 41.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

   2. Simplified 34.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 34.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   5. Applied associate-/r* 34.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied add-cube-cbrt 34.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   8. Applied add-cube-cbrt 34.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{y}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   9. Applied *-un-lft-identity 34.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot y}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   10. Applied times-frac 34.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{y}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   11. Applied times-frac 34.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{\frac{y}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   12. Simplified 34.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right)}^{3}}\right)} \cdot \frac{\frac{y}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   13. Simplified 34.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\left(\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{2}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\right)}^{3}}\right) \cdot \color{blue}{\frac{y}{\sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

   14. Taylor expanded around inf 0.0

       \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

   15. Simplified 0.0

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

   if -897232587.5004816 < z < 72489.24391222252

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -897232587.50048161 \lor \neg \left(z \le 72489.2439122225187\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020046 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))