Average Error: 20.3 → 0.2
Time: 11.5s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -224445954.314519256 \lor \neg \left(z \le 0.442681492773434881\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -224445954.314519256 \lor \neg \left(z \le 0.442681492773434881\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r406884 = x;
        double r406885 = y;
        double r406886 = z;
        double r406887 = 0.0692910599291889;
        double r406888 = r406886 * r406887;
        double r406889 = 0.4917317610505968;
        double r406890 = r406888 + r406889;
        double r406891 = r406890 * r406886;
        double r406892 = 0.279195317918525;
        double r406893 = r406891 + r406892;
        double r406894 = r406885 * r406893;
        double r406895 = 6.012459259764103;
        double r406896 = r406886 + r406895;
        double r406897 = r406896 * r406886;
        double r406898 = 3.350343815022304;
        double r406899 = r406897 + r406898;
        double r406900 = r406894 / r406899;
        double r406901 = r406884 + r406900;
        return r406901;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r406902 = z;
        double r406903 = -224445954.31451926;
        bool r406904 = r406902 <= r406903;
        double r406905 = 0.4426814927734349;
        bool r406906 = r406902 <= r406905;
        double r406907 = !r406906;
        bool r406908 = r406904 || r406907;
        double r406909 = 0.07512208616047561;
        double r406910 = y;
        double r406911 = r406910 / r406902;
        double r406912 = 0.0692910599291889;
        double r406913 = x;
        double r406914 = fma(r406910, r406912, r406913);
        double r406915 = fma(r406909, r406911, r406914);
        double r406916 = 0.4917317610505968;
        double r406917 = fma(r406902, r406912, r406916);
        double r406918 = 0.279195317918525;
        double r406919 = fma(r406902, r406917, r406918);
        double r406920 = cbrt(r406919);
        double r406921 = r406920 * r406920;
        double r406922 = r406921 * r406920;
        double r406923 = 6.012459259764103;
        double r406924 = r406902 + r406923;
        double r406925 = 3.350343815022304;
        double r406926 = fma(r406924, r406902, r406925);
        double r406927 = r406922 / r406926;
        double r406928 = r406927 * r406910;
        double r406929 = r406928 + r406913;
        double r406930 = r406908 ? r406915 : r406929;
        return r406930;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.3
Target0.2
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -224445954.31451926 or 0.4426814927734349 < z

    1. Initial program 40.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified33.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

    if -224445954.31451926 < z < 0.4426814927734349

    1. Initial program 0.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied clear-num0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied fma-udef0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right) + x}\]

    7. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}{y}}} + x\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied associate-/r/0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y} + x\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-cube-cbrt0.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}}}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -224445954.314519256 \lor \neg \left(z \le 0.442681492773434881\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)} \cdot y + x\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020042 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))