Average Error: 0.1 → 0.0
Time: 3.4s
Precision: 64
\[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]
↓
\[\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]
\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3
↓
\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r189907 = d1;
        double r189908 = 3.0;
        double r189909 = r189907 * r189908;
        double r189910 = d2;
        double r189911 = r189907 * r189910;
        double r189912 = r189909 + r189911;
        double r189913 = d3;
        double r189914 = r189907 * r189913;
        double r189915 = r189912 + r189914;
        return r189915;
}
↓
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r189916 = 3.0;
        double r189917 = d1;
        double r189918 = d3;
        double r189919 = d2;
        double r189920 = r189917 * r189919;
        double r189921 = fma(r189917, r189918, r189920);
        double r189922 = fma(r189916, r189917, r189921);
        return r189922;
}

Error

Bits error versus d1

Bits error versus d2

Bits error versus d3

Target

Original0.1
Target0.1
Herbie0.0
\[d1 \cdot \left(\left(3 + d2\right) + d3\right)\]

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, 3 + d2, d1 \cdot d3\right)}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot d1 + \left(d1 \cdot d3 + d1 \cdot d2\right)}\]

  4. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)}\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020036 +o rules:numerics
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath test3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 3 d2) d3))

  (+ (+ (* d1 3) (* d1 d2)) (* d1 d3)))