Average Error: 29.6 → 0.9
Time: 8.5s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 148.388502052000632:\\ \;\;\;\;1 + \left({\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}}\right)}^{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 148.388502052000632:\\
\;\;\;\;1 + \left({\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}}\right)}^{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r48453 = 1.0;
        double r48454 = eps;
        double r48455 = r48453 / r48454;
        double r48456 = r48453 + r48455;
        double r48457 = r48453 - r48454;
        double r48458 = x;
        double r48459 = r48457 * r48458;
        double r48460 = -r48459;
        double r48461 = exp(r48460);
        double r48462 = r48456 * r48461;
        double r48463 = r48455 - r48453;
        double r48464 = r48453 + r48454;
        double r48465 = r48464 * r48458;
        double r48466 = -r48465;
        double r48467 = exp(r48466);
        double r48468 = r48463 * r48467;
        double r48469 = r48462 - r48468;
        double r48470 = 2.0;
        double r48471 = r48469 / r48470;
        return r48471;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r48472 = x;
        double r48473 = 148.38850205200063;
        bool r48474 = r48472 <= r48473;
        double r48475 = 1.0;
        double r48476 = 2.0;
        double r48477 = pow(r48472, r48476);
        double r48478 = 0.33333333333333337;
        double r48479 = r48472 * r48478;
        double r48480 = 0.5;
        double r48481 = r48479 - r48480;
        double r48482 = r48477 * r48481;
        double r48483 = cbrt(r48482);
        double r48484 = cbrt(r48483);
        double r48485 = r48484 * r48484;
        double r48486 = r48485 * r48484;
        double r48487 = cbrt(r48486);
        double r48488 = 4.0;
        double r48489 = pow(r48487, r48488);
        double r48490 = r48489 * r48485;
        double r48491 = r48490 * r48483;
        double r48492 = r48475 + r48491;
        double r48493 = eps;
        double r48494 = r48475 / r48493;
        double r48495 = r48475 + r48494;
        double r48496 = r48475 - r48493;
        double r48497 = r48496 * r48472;
        double r48498 = exp(r48497);
        double r48499 = r48495 / r48498;
        double r48500 = 2.0;
        double r48501 = r48499 / r48500;
        double r48502 = r48494 - r48475;
        double r48503 = r48475 + r48493;
        double r48504 = r48503 * r48472;
        double r48505 = exp(r48504);
        double r48506 = r48502 / r48505;
        double r48507 = r48506 / r48500;
        double r48508 = r48501 - r48507;
        double r48509 = log(r48508);
        double r48510 = exp(r48509);
        double r48511 = r48474 ? r48492 : r48510;
        return r48511;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 148.38850205200063

    1. Initial program 39.5

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified39.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around 0 1.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.33333333333333337 \cdot {x}^{3} + 1\right) - 0.5 \cdot {x}^{2}}\]

    4. Simplified1.2

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]

    9. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]

    10. Applied swap-sqr1.2

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]

    11. Simplified1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)}^{4}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]
    12. Using strategy rm

    13. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}}}\right)}^{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\]

    if 148.38850205200063 < x

    1. Initial program 0.1

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-exp-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 148.388502052000632:\\ \;\;\;\;1 + \left({\left(\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}}\right)}^{4} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.33333333333333337 - 0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020036 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))