Average Error: 43.8 → 0.7
Time: 14.9s
Precision: 64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]
↓
\[\left(-0.166666666666666657 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(1, \sin re \cdot im, 0.00833333333333333322 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\left(-0.166666666666666657 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(1, \sin re \cdot im, 0.00833333333333333322 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)
double f(double re, double im) {
        double r932 = 0.5;
        double r933 = re;
        double r934 = sin(r933);
        double r935 = r932 * r934;
        double r936 = im;
        double r937 = -r936;
        double r938 = exp(r937);
        double r939 = exp(r936);
        double r940 = r938 - r939;
        double r941 = r935 * r940;
        return r941;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r942 = 0.16666666666666666;
        double r943 = re;
        double r944 = sin(r943);
        double r945 = im;
        double r946 = 3.0;
        double r947 = pow(r945, r946);
        double r948 = r944 * r947;
        double r949 = r942 * r948;
        double r950 = -r949;
        double r951 = 1.0;
        double r952 = r944 * r945;
        double r953 = 0.008333333333333333;
        double r954 = 5.0;
        double r955 = pow(r945, r954);
        double r956 = r944 * r955;
        double r957 = r953 * r956;
        double r958 = fma(r951, r952, r957);
        double r959 = r950 - r958;
        return r959;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.8
Target0.2
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| \lt 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.166666666666666657 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.00833333333333333322 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Initial program 43.8

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\]

  2. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{1}{3} \cdot {im}^{3} + \left(\frac{1}{60} \cdot {im}^{5} + 2 \cdot im\right)\right)\right)}\]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(-\frac{1}{3} \cdot {im}^{3}\right) - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{60}, {im}^{5}, 2 \cdot im\right)\right)}\]

  4. Taylor expanded around inf 0.7

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(0.166666666666666657 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + 0.00833333333333333322 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)}\]

  5. Simplified0.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.166666666666666657 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(1, \sin re \cdot im, 0.00833333333333333322 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)}\]

  6. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(-0.166666666666666657 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right) - \mathsf{fma}\left(1, \sin re \cdot im, 0.00833333333333333322 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020025 +o rules:numerics
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))