Average Error: 20.4 → 0.1
Time: 6.5s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -6.44766332686604399 \cdot 10^{27} \lor \neg \left(z \le 206714745.849681407\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, 6.0124592597641033, \mathsf{fma}\left(z, z, 3.35034381502230394\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -6.44766332686604399 \cdot 10^{27} \lor \neg \left(z \le 206714745.849681407\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, 6.0124592597641033, \mathsf{fma}\left(z, z, 3.35034381502230394\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r1997 = x;
        double r1998 = y;
        double r1999 = z;
        double r2000 = 0.0692910599291889;
        double r2001 = r1999 * r2000;
        double r2002 = 0.4917317610505968;
        double r2003 = r2001 + r2002;
        double r2004 = r2003 * r1999;
        double r2005 = 0.279195317918525;
        double r2006 = r2004 + r2005;
        double r2007 = r1998 * r2006;
        double r2008 = 6.012459259764103;
        double r2009 = r1999 + r2008;
        double r2010 = r2009 * r1999;
        double r2011 = 3.350343815022304;
        double r2012 = r2010 + r2011;
        double r2013 = r2007 / r2012;
        double r2014 = r1997 + r2013;
        return r2014;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r2015 = z;
        double r2016 = -6.447663326866044e+27;
        bool r2017 = r2015 <= r2016;
        double r2018 = 206714745.8496814;
        bool r2019 = r2015 <= r2018;
        double r2020 = !r2019;
        bool r2021 = r2017 || r2020;
        double r2022 = 0.07512208616047561;
        double r2023 = r2022 / r2015;
        double r2024 = y;
        double r2025 = 0.0692910599291889;
        double r2026 = x;
        double r2027 = fma(r2024, r2025, r2026);
        double r2028 = fma(r2023, r2024, r2027);
        double r2029 = 6.012459259764103;
        double r2030 = 3.350343815022304;
        double r2031 = fma(r2015, r2015, r2030);
        double r2032 = fma(r2015, r2029, r2031);
        double r2033 = r2024 / r2032;
        double r2034 = 0.4917317610505968;
        double r2035 = fma(r2015, r2025, r2034);
        double r2036 = 0.279195317918525;
        double r2037 = fma(r2035, r2015, r2036);
        double r2038 = fma(r2033, r2037, r2026);
        double r2039 = r2021 ? r2028 : r2038;
        return r2039;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.4
Target0.2
Herbie0.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -6.447663326866044e+27 or 206714745.8496814 < z

    1. Initial program 42.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified35.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)}\]

    if -6.447663326866044e+27 < z < 206714745.8496814

    1. Initial program 0.3

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around 0 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{6.0124592597641033 \cdot z + \left({z}^{2} + 3.35034381502230394\right)}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]

    4. Simplified0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(z, 6.0124592597641033, \mathsf{fma}\left(z, z, 3.35034381502230394\right)\right)}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -6.44766332686604399 \cdot 10^{27} \lor \neg \left(z \le 206714745.849681407\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291888946, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z, 6.0124592597641033, \mathsf{fma}\left(z, z, 3.35034381502230394\right)\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020025 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))