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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.68221814765511261 \cdot 10^{-264}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.01436135168732259 \cdot 10^{-237}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.97128001067495674 \cdot 10^{26}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -6.68221814765511261 \cdot 10^{-264}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.01436135168732259 \cdot 10^{-237}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 2.97128001067495674 \cdot 10^{26}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r190925 = 0.5;
        double r190926 = 2.0;
        double r190927 = re;
        double r190928 = r190927 * r190927;
        double r190929 = im;
        double r190930 = r190929 * r190929;
        double r190931 = r190928 + r190930;
        double r190932 = sqrt(r190931);
        double r190933 = r190932 + r190927;
        double r190934 = r190926 * r190933;
        double r190935 = sqrt(r190934);
        double r190936 = r190925 * r190935;
        return r190936;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r190937 = re;
        double r190938 = -6.682218147655113e-264;
        bool r190939 = r190937 <= r190938;
        double r190940 = 0.5;
        double r190941 = 2.0;
        double r190942 = im;
        double r190943 = r190942 * r190942;
        double r190944 = 0.0;
        double r190945 = r190943 + r190944;
        double r190946 = r190937 * r190937;
        double r190947 = r190946 + r190943;
        double r190948 = sqrt(r190947);
        double r190949 = -1.0;
        double r190950 = r190949 * r190937;
        double r190951 = r190948 + r190950;
        double r190952 = r190945 / r190951;
        double r190953 = r190941 * r190952;
        double r190954 = sqrt(r190953);
        double r190955 = r190940 * r190954;
        double r190956 = 1.0143613516873226e-237;
        bool r190957 = r190937 <= r190956;
        double r190958 = r190937 + r190942;
        double r190959 = r190941 * r190958;
        double r190960 = sqrt(r190959);
        double r190961 = r190940 * r190960;
        double r190962 = 2.9712800106749567e+26;
        bool r190963 = r190937 <= r190962;
        double r190964 = sqrt(r190948);
        double r190965 = r190964 * r190964;
        double r190966 = r190965 + r190937;
        double r190967 = r190941 * r190966;
        double r190968 = sqrt(r190967);
        double r190969 = r190940 * r190968;
        double r190970 = 2.0;
        double r190971 = r190970 * r190937;
        double r190972 = r190941 * r190971;
        double r190973 = sqrt(r190972);
        double r190974 = r190940 * r190973;
        double r190975 = r190963 ? r190969 : r190974;
        double r190976 = r190957 ? r190961 : r190975;
        double r190977 = r190939 ? r190955 : r190976;
        return r190977;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.4
Herbie27.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -6.682218147655113e-264

    1. Initial program 46.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt46.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod47.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+47.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

    if -6.682218147655113e-264 < re < 1.0143613516873226e-237

    1. Initial program 29.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt29.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-exp-log31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied pow1/231.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{e^{\log \color{blue}{\left({\left(re \cdot re + im \cdot im\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    9. Applied log-pow31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{e^{\color{blue}{\frac{1}{2} \cdot \log \left(re \cdot re + im \cdot im\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    10. Applied exp-prod31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(e^{\frac{1}{2}}\right)}^{\left(\log \left(re \cdot re + im \cdot im\right)\right)}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    11. Taylor expanded around 0 32.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]

    if 1.0143613516873226e-237 < re < 2.9712800106749567e+26

    1. Initial program 19.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 2.9712800106749567e+26 < re

    1. Initial program 42.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 13.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification27.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -6.68221814765511261 \cdot 10^{-264}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.01436135168732259 \cdot 10^{-237}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 2.97128001067495674 \cdot 10^{26}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020021 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))