Average Error: 0.1 → 0.0
Time: 1.1s
Precision: 64
\[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]
↓
\[\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]
\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3
↓
\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r149687 = d1;
        double r149688 = 3.0;
        double r149689 = r149687 * r149688;
        double r149690 = d2;
        double r149691 = r149687 * r149690;
        double r149692 = r149689 + r149691;
        double r149693 = d3;
        double r149694 = r149687 * r149693;
        double r149695 = r149692 + r149694;
        return r149695;
}
↓
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r149696 = 3.0;
        double r149697 = d1;
        double r149698 = d3;
        double r149699 = d2;
        double r149700 = r149697 * r149699;
        double r149701 = fma(r149697, r149698, r149700);
        double r149702 = fma(r149696, r149697, r149701);
        return r149702;
}

Error

Bits error versus d1

Bits error versus d2

Bits error versus d3

Target

Original0.1
Target0.1
Herbie0.0
\[d1 \cdot \left(\left(3 + d2\right) + d3\right)\]

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, 3 + d2, d1 \cdot d3\right)}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot d1 + \left(d1 \cdot d3 + d1 \cdot d2\right)}\]

  4. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)}\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020003 +o rules:numerics
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath test3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 3 d2) d3))

  (+ (+ (* d1 3) (* d1 d2)) (* d1 d3)))