Average Error: 0.1 → 0.0
Time: 1.1s
Precision: 64
\[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]
↓
\[\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]
\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3
↓
\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r160112 = d1;
        double r160113 = 3.0;
        double r160114 = r160112 * r160113;
        double r160115 = d2;
        double r160116 = r160112 * r160115;
        double r160117 = r160114 + r160116;
        double r160118 = d3;
        double r160119 = r160112 * r160118;
        double r160120 = r160117 + r160119;
        return r160120;
}
↓
double f(double d1, double d2, double d3) {
        double r160121 = 3.0;
        double r160122 = d1;
        double r160123 = d3;
        double r160124 = d2;
        double r160125 = r160122 * r160124;
        double r160126 = fma(r160122, r160123, r160125);
        double r160127 = fma(r160121, r160122, r160126);
        return r160127;
}

Error

Bits error versus d1

Bits error versus d2

Bits error versus d3

Target

Original0.1
Target0.1
Herbie0.0
\[d1 \cdot \left(\left(3 + d2\right) + d3\right)\]

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(d1 \cdot 3 + d1 \cdot d2\right) + d1 \cdot d3\]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(d1, 3 + d2, d1 \cdot d3\right)}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{3 \cdot d1 + \left(d1 \cdot d3 + d1 \cdot d2\right)}\]

  4. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)}\]

  5. Final simplification0.0

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(3, d1, \mathsf{fma}\left(d1, d3, d1 \cdot d2\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020001 +o rules:numerics
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath test3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ (+ 3 d2) d3))

  (+ (+ (* d1 3) (* d1 d2)) (* d1 d3)))