Average Error: 12.4 → 12.3
Time: 12.3s
Precision: 64
\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -2.329574615195142828419975702711333531113 \cdot 10^{-268}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + 1 \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;a \le 1.622426989727679313206537450117033416418 \cdot 10^{122}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z\right)\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \end{array}\]
\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;a \le -2.329574615195142828419975702711333531113 \cdot 10^{-268}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + 1 \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;a \le 1.622426989727679313206537450117033416418 \cdot 10^{122}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z\right)\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
        double r538751 = x;
        double r538752 = y;
        double r538753 = z;
        double r538754 = r538752 * r538753;
        double r538755 = t;
        double r538756 = a;
        double r538757 = r538755 * r538756;
        double r538758 = r538754 - r538757;
        double r538759 = r538751 * r538758;
        double r538760 = b;
        double r538761 = c;
        double r538762 = r538761 * r538753;
        double r538763 = i;
        double r538764 = r538763 * r538756;
        double r538765 = r538762 - r538764;
        double r538766 = r538760 * r538765;
        double r538767 = r538759 - r538766;
        double r538768 = j;
        double r538769 = r538761 * r538755;
        double r538770 = r538763 * r538752;
        double r538771 = r538769 - r538770;
        double r538772 = r538768 * r538771;
        double r538773 = r538767 + r538772;
        return r538773;
}
↓
double f(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
        double r538774 = a;
        double r538775 = -2.3295746151951428e-268;
        bool r538776 = r538774 <= r538775;
        double r538777 = c;
        double r538778 = t;
        double r538779 = r538777 * r538778;
        double r538780 = i;
        double r538781 = y;
        double r538782 = r538780 * r538781;
        double r538783 = r538779 - r538782;
        double r538784 = j;
        double r538785 = x;
        double r538786 = r538785 * r538781;
        double r538787 = z;
        double r538788 = r538786 * r538787;
        double r538789 = 1.0;
        double r538790 = -1.0;
        double r538791 = r538785 * r538778;
        double r538792 = r538774 * r538791;
        double r538793 = r538790 * r538792;
        double r538794 = r538789 * r538793;
        double r538795 = r538788 + r538794;
        double r538796 = b;
        double r538797 = r538777 * r538787;
        double r538798 = r538780 * r538774;
        double r538799 = r538797 - r538798;
        double r538800 = r538796 * r538799;
        double r538801 = -r538774;
        double r538802 = r538774 * r538780;
        double r538803 = fma(r538801, r538780, r538802);
        double r538804 = r538796 * r538803;
        double r538805 = r538800 + r538804;
        double r538806 = r538795 - r538805;
        double r538807 = fma(r538783, r538784, r538806);
        double r538808 = 1.6224269897276793e+122;
        bool r538809 = r538774 <= r538808;
        double r538810 = cbrt(r538785);
        double r538811 = r538810 * r538810;
        double r538812 = r538781 * r538787;
        double r538813 = r538810 * r538812;
        double r538814 = r538811 * r538813;
        double r538815 = r538778 * r538774;
        double r538816 = -r538815;
        double r538817 = r538785 * r538816;
        double r538818 = r538814 + r538817;
        double r538819 = r538818 - r538805;
        double r538820 = fma(r538783, r538784, r538819);
        double r538821 = r538780 * r538796;
        double r538822 = r538796 * r538777;
        double r538823 = fma(r538787, r538822, r538792);
        double r538824 = -r538823;
        double r538825 = fma(r538774, r538821, r538824);
        double r538826 = r538809 ? r538820 : r538825;
        double r538827 = r538776 ? r538807 : r538826;
        return r538827;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original12.4
Target16.1
Herbie12.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \lt -8.12097891919591218149793027759825150959 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt -4.712553818218485141757938537793350881052 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t \lt -7.633533346031583686060259351057142920433 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t \lt 1.053588855745548710002760210539645467715 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if a < -2.3295746151951428e-268

    1. Initial program 12.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

    2. Simplified12.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied prod-diff12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, z, -a \cdot i\right) + \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)}\right)\]

    5. Applied distribute-lft-in12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \mathsf{fma}\left(c, z, -a \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)}\right)\]

    6. Simplified12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)} + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sub-neg12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    9. Applied distribute-lft-in12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied associate-*r*12.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\color{blue}{\left(x \cdot y\right) \cdot z} + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]
    12. Using strategy rm

    13. Applied *-un-lft-identity12.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + \color{blue}{\left(1 \cdot x\right)} \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    14. Applied associate-*l*12.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + \color{blue}{1 \cdot \left(x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)}\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    15. Simplified12.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + 1 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)}\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    if -2.3295746151951428e-268 < a < 1.6224269897276793e+122

    1. Initial program 10.3

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

    2. Simplified10.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied prod-diff10.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, z, -a \cdot i\right) + \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)}\right)\]

    5. Applied distribute-lft-in10.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \mathsf{fma}\left(c, z, -a \cdot i\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)}\right)\]

    6. Simplified10.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)} + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sub-neg10.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot z + \left(-t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    9. Applied distribute-lft-in10.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \color{blue}{\left(x \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right)} - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-cube-cbrt10.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \cdot \left(y \cdot z\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    12. Applied associate-*l*10.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z\right)\right)} + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\]

    if 1.6224269897276793e+122 < a

    1. Initial program 23.1

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right)\]

    2. Simplified23.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 20.7

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(i \cdot b\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)}\]

    4. Simplified20.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification12.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -2.329574615195142828419975702711333531113 \cdot 10^{-268}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(x \cdot y\right) \cdot z + 1 \cdot \left(-1 \cdot \left(a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;a \le 1.622426989727679313206537450117033416418 \cdot 10^{122}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(c \cdot t - i \cdot y, j, \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(y \cdot z\right)\right) + x \cdot \left(-t \cdot a\right)\right) - \left(b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right) + b \cdot \mathsf{fma}\left(-a, i, a \cdot i\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, i \cdot b, -\mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2020001 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2) (pow (* i y) 2))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2) (pow (* i y) 2))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))