Average Error: 29.3 → 1.1
Time: 6.7s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 223.9079535097153552669624332338571548462:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\left|\frac{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}}{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 \cdot \left(\left(e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 223.9079535097153552669624332338571548462:\\
\;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\left|\frac{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}}{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{1 \cdot \left(\left(e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon}}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r36888 = 1.0;
        double r36889 = eps;
        double r36890 = r36888 / r36889;
        double r36891 = r36888 + r36890;
        double r36892 = r36888 - r36889;
        double r36893 = x;
        double r36894 = r36892 * r36893;
        double r36895 = -r36894;
        double r36896 = exp(r36895);
        double r36897 = r36891 * r36896;
        double r36898 = r36890 - r36888;
        double r36899 = r36888 + r36889;
        double r36900 = r36899 * r36893;
        double r36901 = -r36900;
        double r36902 = exp(r36901);
        double r36903 = r36898 * r36902;
        double r36904 = r36897 - r36903;
        double r36905 = 2.0;
        double r36906 = r36904 / r36905;
        return r36906;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r36907 = x;
        double r36908 = 223.90795350971536;
        bool r36909 = r36907 <= r36908;
        double r36910 = 0.6666666666666667;
        double r36911 = 3.0;
        double r36912 = pow(r36907, r36911);
        double r36913 = r36910 * r36912;
        double r36914 = 2.0;
        double r36915 = r36913 + r36914;
        double r36916 = 1.0;
        double r36917 = 2.0;
        double r36918 = pow(r36907, r36917);
        double r36919 = r36916 * r36918;
        double r36920 = r36915 - r36919;
        double r36921 = sqrt(r36920);
        double r36922 = r36915 * r36915;
        double r36923 = r36919 * r36919;
        double r36924 = r36922 - r36923;
        double r36925 = cbrt(r36924);
        double r36926 = r36915 + r36919;
        double r36927 = cbrt(r36926);
        double r36928 = r36925 / r36927;
        double r36929 = fabs(r36928);
        double r36930 = cbrt(r36920);
        double r36931 = sqrt(r36930);
        double r36932 = r36929 * r36931;
        double r36933 = r36921 * r36932;
        double r36934 = r36933 / r36914;
        double r36935 = eps;
        double r36936 = r36907 * r36935;
        double r36937 = r36916 * r36907;
        double r36938 = r36936 + r36937;
        double r36939 = -r36938;
        double r36940 = exp(r36939);
        double r36941 = r36936 - r36937;
        double r36942 = exp(r36941);
        double r36943 = r36940 + r36942;
        double r36944 = r36940 / r36935;
        double r36945 = r36943 - r36944;
        double r36946 = r36916 * r36945;
        double r36947 = r36942 / r36935;
        double r36948 = r36916 * r36947;
        double r36949 = r36946 + r36948;
        double r36950 = r36949 / r36914;
        double r36951 = r36909 ? r36934 : r36950;
        return r36951;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 223.90795350971536

    1. Initial program 39.0

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around 0 1.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt2.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}}{2}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}}}{2}\]

    7. Applied sqrt-prod2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}}{2}\]

    8. Simplified2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\]
    9. Using strategy rm

    10. Applied flip--2.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\]

    11. Applied cbrt-div1.4

      \[\leadsto \frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\left|\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}}{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\]

    if 223.90795350971536 < x

    1. Initial program 0.1

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around inf 0.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + \left(1 \cdot e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + 1 \cdot e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right)\right) - 1 \cdot \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}}}{2}\]

    3. Simplified0.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon}}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification1.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 223.9079535097153552669624332338571548462:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}} \cdot \left(\left|\frac{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - \left(1 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(1 \cdot {x}^{2}\right)}}{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) + 1 \cdot {x}^{2}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 \cdot \left(\left(e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right) - \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}\right) + 1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019354 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))