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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 4.941938896942077730606484955269328683542 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 0.0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 4.941938896942077730606484955269328683542 \cdot 10^{76}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r206968 = 0.5;
        double r206969 = 2.0;
        double r206970 = re;
        double r206971 = r206970 * r206970;
        double r206972 = im;
        double r206973 = r206972 * r206972;
        double r206974 = r206971 + r206973;
        double r206975 = sqrt(r206974);
        double r206976 = r206975 + r206970;
        double r206977 = r206969 * r206976;
        double r206978 = sqrt(r206977);
        double r206979 = r206968 * r206978;
        return r206979;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r206980 = 2.0;
        double r206981 = re;
        double r206982 = r206981 * r206981;
        double r206983 = im;
        double r206984 = r206983 * r206983;
        double r206985 = r206982 + r206984;
        double r206986 = sqrt(r206985);
        double r206987 = r206986 + r206981;
        double r206988 = r206980 * r206987;
        double r206989 = sqrt(r206988);
        double r206990 = 0.0;
        bool r206991 = r206989 <= r206990;
        double r206992 = 0.5;
        double r206993 = 0.0;
        double r206994 = r206984 + r206993;
        double r206995 = -1.0;
        double r206996 = r206995 * r206981;
        double r206997 = r206986 + r206996;
        double r206998 = r206994 / r206997;
        double r206999 = r206980 * r206998;
        double r207000 = sqrt(r206999);
        double r207001 = r206992 * r207000;
        double r207002 = 4.941938896942078e+76;
        bool r207003 = r206989 <= r207002;
        double r207004 = sqrt(r206986);
        double r207005 = r207004 * r207004;
        double r207006 = r207005 + r206981;
        double r207007 = r206980 * r207006;
        double r207008 = sqrt(r207007);
        double r207009 = r206992 * r207008;
        double r207010 = r206983 + r206981;
        double r207011 = r206980 * r207010;
        double r207012 = sqrt(r207011);
        double r207013 = r206992 * r207012;
        double r207014 = r207003 ? r207009 : r207013;
        double r207015 = r206991 ? r207001 : r207014;
        return r207015;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.9
Target34.1
Herbie26.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 58.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt58.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+60.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified31.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified31.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

    if 0.0 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) < 4.941938896942078e+76

    1. Initial program 4.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt4.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod4.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 4.941938896942078e+76 < (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))

    1. Initial program 63.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 44.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \le 4.941938896942077730606484955269328683542 \cdot 10^{76}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019354 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))