Average Error: 0.0 → 0.1
Time: 4.9s
Precision: 64
\[\frac{1 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}{2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}\]
↓
\[\frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}^{6}}}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]
\frac{1 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}{2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}
↓
\frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}^{6}}}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}
double f(double t) {
        double r79299 = 1.0;
        double r79300 = 2.0;
        double r79301 = t;
        double r79302 = r79300 * r79301;
        double r79303 = r79299 + r79301;
        double r79304 = r79302 / r79303;
        double r79305 = r79304 * r79304;
        double r79306 = r79299 + r79305;
        double r79307 = r79300 + r79305;
        double r79308 = r79306 / r79307;
        return r79308;
}
↓
double f(double t) {
        double r79309 = 1.0;
        double r79310 = r79309 * r79309;
        double r79311 = 2.0;
        double r79312 = t;
        double r79313 = r79311 * r79312;
        double r79314 = r79309 + r79312;
        double r79315 = r79313 / r79314;
        double r79316 = r79315 * r79315;
        double r79317 = 6.0;
        double r79318 = pow(r79315, r79317);
        double r79319 = cbrt(r79318);
        double r79320 = r79316 * r79319;
        double r79321 = r79310 - r79320;
        double r79322 = r79311 + r79316;
        double r79323 = r79309 - r79316;
        double r79324 = r79322 * r79323;
        double r79325 = r79321 / r79324;
        return r79325;
}

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Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.0

    \[\frac{1 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}{2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip-+0.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}{1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}}}{2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}}\]

  4. Applied associate-/l/0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cbrt-cube21.7

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  7. Applied add-cbrt-cube22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(t \cdot t\right) \cdot t}}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  8. Applied add-cbrt-cube22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2}} \cdot \sqrt[3]{\left(t \cdot t\right) \cdot t}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  9. Applied cbrt-unprod22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  10. Applied cbrt-undiv22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  11. Applied add-cbrt-cube22.1

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot t}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  12. Applied add-cbrt-cube22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(t \cdot t\right) \cdot t}}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  13. Applied add-cbrt-cube22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2}} \cdot \sqrt[3]{\left(t \cdot t\right) \cdot t}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  14. Applied cbrt-unprod22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}}}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  15. Applied cbrt-undiv22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}\right)}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  16. Applied cbrt-unprod22.0

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)} \cdot \frac{\left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right) \cdot \left(\left(t \cdot t\right) \cdot t\right)}{\left(\left(1 + t\right) \cdot \left(1 + t\right)\right) \cdot \left(1 + t\right)}}}}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  17. Simplified0.1

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}^{6}}}}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

  18. Final simplification0.1

    \[\leadsto \frac{1 \cdot 1 - \left(\frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}^{6}}}{\left(2 + \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right) \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot t}{1 + t} \cdot \frac{2 \cdot t}{1 + t}\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019353 +o rules:numerics
(FPCore (t)
  :name "Kahan p13 Example 1"
  :precision binary64
  (/ (+ 1 (* (/ (* 2 t) (+ 1 t)) (/ (* 2 t) (+ 1 t)))) (+ 2 (* (/ (* 2 t) (+ 1 t)) (/ (* 2 t) (+ 1 t))))))