Average Error: 29.7 → 0.1
Time: 4.4s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r51871 = N;
        double r51872 = 1.0;
        double r51873 = r51871 + r51872;
        double r51874 = log(r51873);
        double r51875 = log(r51871);
        double r51876 = r51874 - r51875;
        return r51876;
}
↓
double f(double N) {
        double r51877 = N;
        double r51878 = 9570.307657915993;
        bool r51879 = r51877 <= r51878;
        double r51880 = 1.0;
        double r51881 = r51877 + r51880;
        double r51882 = r51881 / r51877;
        double r51883 = log(r51882);
        double r51884 = 0.3333333333333333;
        double r51885 = r51884 / r51877;
        double r51886 = 3.0;
        double r51887 = pow(r51885, r51886);
        double r51888 = 0.5;
        double r51889 = pow(r51888, r51886);
        double r51890 = r51887 - r51889;
        double r51891 = 2.0;
        double r51892 = pow(r51877, r51891);
        double r51893 = r51890 / r51892;
        double r51894 = r51885 * r51888;
        double r51895 = fma(r51888, r51888, r51894);
        double r51896 = fma(r51885, r51885, r51895);
        double r51897 = r51880 * r51896;
        double r51898 = fma(r51893, r51877, r51897);
        double r51899 = r51877 * r51896;
        double r51900 = r51898 / r51899;
        double r51901 = r51879 ? r51883 : r51900;
        return r51901;
}

Error

Bits error versus N

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 9570.307657915993

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 9570.307657915993 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip3--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}}\]

    8. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}\]

    9. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{\color{blue}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{{N}^{2}}, N, 1 \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)\right)}{N \cdot \mathsf{fma}\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}, \mathsf{fma}\left(0.5, 0.5, \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019353 +o rules:numerics
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))