Average Error: 29.7 → 0.1
Time: 5.1s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r41333 = N;
        double r41334 = 1.0;
        double r41335 = r41333 + r41334;
        double r41336 = log(r41335);
        double r41337 = log(r41333);
        double r41338 = r41336 - r41337;
        return r41338;
}
↓
double f(double N) {
        double r41339 = N;
        double r41340 = 9570.307657915993;
        bool r41341 = r41339 <= r41340;
        double r41342 = 1.0;
        double r41343 = r41339 + r41342;
        double r41344 = r41343 / r41339;
        double r41345 = log(r41344);
        double r41346 = 1.0;
        double r41347 = 2.0;
        double r41348 = pow(r41339, r41347);
        double r41349 = r41346 / r41348;
        double r41350 = 0.3333333333333333;
        double r41351 = r41350 / r41339;
        double r41352 = 3.0;
        double r41353 = pow(r41351, r41352);
        double r41354 = 0.5;
        double r41355 = pow(r41354, r41352);
        double r41356 = r41353 - r41355;
        double r41357 = r41349 * r41356;
        double r41358 = r41357 * r41339;
        double r41359 = r41351 * r41351;
        double r41360 = r41354 * r41354;
        double r41361 = r41351 * r41354;
        double r41362 = r41360 + r41361;
        double r41363 = r41359 + r41362;
        double r41364 = r41363 * r41342;
        double r41365 = r41358 + r41364;
        double r41366 = r41354 + r41351;
        double r41367 = r41354 * r41366;
        double r41368 = r41367 + r41359;
        double r41369 = r41339 * r41368;
        double r41370 = r41365 / r41369;
        double r41371 = r41341 ? r41345 : r41370;
        return r41371;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 9570.307657915993

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 9570.307657915993 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip3--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}}\]

    8. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019353 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))