Average Error: 29.7 → 0.1
Time: 5.2s
Precision: 64
\[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\ \end{array}\]
\log \left(N + 1\right) - \log N
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\
\;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\

\end{array}
double f(double N) {
        double r48015 = N;
        double r48016 = 1.0;
        double r48017 = r48015 + r48016;
        double r48018 = log(r48017);
        double r48019 = log(r48015);
        double r48020 = r48018 - r48019;
        return r48020;
}
↓
double f(double N) {
        double r48021 = N;
        double r48022 = 9570.307657915993;
        bool r48023 = r48021 <= r48022;
        double r48024 = 1.0;
        double r48025 = r48021 + r48024;
        double r48026 = r48025 / r48021;
        double r48027 = log(r48026);
        double r48028 = 1.0;
        double r48029 = 2.0;
        double r48030 = pow(r48021, r48029);
        double r48031 = r48028 / r48030;
        double r48032 = 0.3333333333333333;
        double r48033 = r48032 / r48021;
        double r48034 = 3.0;
        double r48035 = pow(r48033, r48034);
        double r48036 = 0.5;
        double r48037 = pow(r48036, r48034);
        double r48038 = r48035 - r48037;
        double r48039 = r48031 * r48038;
        double r48040 = r48039 * r48021;
        double r48041 = r48033 * r48033;
        double r48042 = r48036 * r48036;
        double r48043 = r48033 * r48036;
        double r48044 = r48042 + r48043;
        double r48045 = r48041 + r48044;
        double r48046 = r48045 * r48024;
        double r48047 = r48040 + r48046;
        double r48048 = r48036 + r48033;
        double r48049 = r48036 * r48048;
        double r48050 = r48049 + r48041;
        double r48051 = r48021 * r48050;
        double r48052 = r48047 / r48051;
        double r48053 = r48023 ? r48027 : r48052;
        return r48053;
}

Error

Bits error versus N

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if N < 9570.307657915993

    1. Initial program 0.1

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied diff-log0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)}\]

    if 9570.307657915993 < N

    1. Initial program 59.4

      \[\log \left(N + 1\right) - \log N\]

    2. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \frac{1}{{N}^{3}} + 1 \cdot \frac{1}{N}\right) - 0.5 \cdot \frac{1}{{N}^{2}}}\]

    3. Simplified0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} - 0.5\right) + \frac{1}{N}}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied flip3--0.0

      \[\leadsto \frac{1}{{N}^{2}} \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    6. Applied associate-*r/0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)}{\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)}} + \frac{1}{N}\]

    7. Applied frac-add0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot N}}\]

    8. Simplified0.0

      \[\leadsto \frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{\color{blue}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;N \le 9570.307657915993331698700785636901855469:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{N + 1}{N}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{1}{{N}^{2}} \cdot \left({\left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}^{3} - {0.5}^{3}\right)\right) \cdot N + \left(\frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} + \left(0.5 \cdot 0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot 0.5\right)\right) \cdot 1}{N \cdot \left(0.5 \cdot \left(0.5 + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N} \cdot \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{N}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019353 
(FPCore (N)
  :name "2log (problem 3.3.6)"
  :precision binary64
  (- (log (+ N 1)) (log N)))