Average Error: 29.5 → 0.9
Time: 15.5s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 15.8623426133402869453448147396557033062:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon} + 1\right) - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 15.8623426133402869453448147396557033062:\\
\;\;\;\;\frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon} + 1\right) - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r83154 = 1.0;
        double r83155 = eps;
        double r83156 = r83154 / r83155;
        double r83157 = r83154 + r83156;
        double r83158 = r83154 - r83155;
        double r83159 = x;
        double r83160 = r83158 * r83159;
        double r83161 = -r83160;
        double r83162 = exp(r83161);
        double r83163 = r83157 * r83162;
        double r83164 = r83156 - r83154;
        double r83165 = r83154 + r83155;
        double r83166 = r83165 * r83159;
        double r83167 = -r83166;
        double r83168 = exp(r83167);
        double r83169 = r83164 * r83168;
        double r83170 = r83163 - r83169;
        double r83171 = 2.0;
        double r83172 = r83170 / r83171;
        return r83172;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r83173 = x;
        double r83174 = 15.862342613340287;
        bool r83175 = r83173 <= r83174;
        double r83176 = 2.0;
        double r83177 = r83173 * r83173;
        double r83178 = 0.6666666666666667;
        double r83179 = r83178 * r83173;
        double r83180 = 1.0;
        double r83181 = r83179 - r83180;
        double r83182 = cbrt(r83181);
        double r83183 = cbrt(r83182);
        double r83184 = 4.0;
        double r83185 = pow(r83183, r83184);
        double r83186 = cbrt(r83185);
        double r83187 = r83186 * r83186;
        double r83188 = r83187 * r83186;
        double r83189 = r83183 * r83183;
        double r83190 = r83188 * r83189;
        double r83191 = r83177 * r83190;
        double r83192 = r83191 * r83182;
        double r83193 = r83176 + r83192;
        double r83194 = r83193 / r83176;
        double r83195 = eps;
        double r83196 = r83180 - r83195;
        double r83197 = r83196 * r83173;
        double r83198 = -r83197;
        double r83199 = exp(r83198);
        double r83200 = r83180 / r83195;
        double r83201 = r83200 + r83180;
        double r83202 = r83199 * r83201;
        double r83203 = r83200 - r83180;
        double r83204 = r83180 + r83195;
        double r83205 = r83204 * r83173;
        double r83206 = exp(r83205);
        double r83207 = r83203 / r83206;
        double r83208 = r83202 - r83207;
        double r83209 = r83208 / r83176;
        double r83210 = r83175 ? r83194 : r83209;
        return r83210;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 15.862342613340287

    1. Initial program 38.9

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified38.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

    4. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1\right)}}{2}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}\right)}}{2}\]

    7. Applied associate-*r*1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}}{2}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\]

    10. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\]

    11. Applied swap-sqr1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\]

    12. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\]
    13. Using strategy rm

    14. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\]

    if 15.862342613340287 < x

    1. Initial program 0.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot \frac{1}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)} \cdot \varepsilon} + 1 \cdot \frac{1}{e^{x \cdot \left(1 - \varepsilon\right)}}\right)} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\]

    4. Simplified0.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon} + 1\right)} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 15.8623426133402869453448147396557033062:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}} \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}\right)\right)\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot x - 1}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} \cdot \left(\frac{1}{\varepsilon} + 1\right) - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019351 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))