Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, C

Average Error: 26.4 → 1.0

Time: 19.0s

Precision: 64

Math

\[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922227999963610045597306452691555 + 78.69949241540000173245061887428164482117\right) \cdot x + 137.5194164160000127594685181975364685059\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422\right) \cdot x + 263.5050747210000281484099105000495910645\right) \cdot x + 313.3992158940000081202015280723571777344\right) \cdot x + 47.06687660600000100430406746454536914825}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -9.990458313923675215149766916585514290729 \cdot 10^{47} \lor \neg \left(x \le 1522068370562880256\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(4.16438922227999963610045597306452691555, x, \frac{y}{{x}^{2}}\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{x \cdot x - 2 \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)} \cdot \frac{1}{x + 2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r259121 = x;
        double r259122 = 2.0;
        double r259123 = r259121 - r259122;
        double r259124 = 4.16438922228;
        double r259125 = r259121 * r259124;
        double r259126 = 78.6994924154;
        double r259127 = r259125 + r259126;
        double r259128 = r259127 * r259121;
        double r259129 = 137.519416416;
        double r259130 = r259128 + r259129;
        double r259131 = r259130 * r259121;
        double r259132 = y;
        double r259133 = r259131 + r259132;
        double r259134 = r259133 * r259121;
        double r259135 = z;
        double r259136 = r259134 + r259135;
        double r259137 = r259123 * r259136;
        double r259138 = 43.3400022514;
        double r259139 = r259121 + r259138;
        double r259140 = r259139 * r259121;
        double r259141 = 263.505074721;
        double r259142 = r259140 + r259141;
        double r259143 = r259142 * r259121;
        double r259144 = 313.399215894;
        double r259145 = r259143 + r259144;
        double r259146 = r259145 * r259121;
        double r259147 = 47.066876606;
        double r259148 = r259146 + r259147;
        double r259149 = r259137 / r259148;
        return r259149;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r259150 = x;
        double r259151 = -9.990458313923675e+47;
        bool r259152 = r259150 <= r259151;
        double r259153 = 1.5220683705628803e+18;
        bool r259154 = r259150 <= r259153;
        double r259155 = !r259154;
        bool r259156 = r259152 || r259155;
        double r259157 = 4.16438922228;
        double r259158 = y;
        double r259159 = 2.0;
        double r259160 = pow(r259150, r259159);
        double r259161 = r259158 / r259160;
        double r259162 = fma(r259157, r259150, r259161);
        double r259163 = 110.1139242984811;
        double r259164 = r259162 - r259163;
        double r259165 = r259150 * r259150;
        double r259166 = 2.0;
        double r259167 = r259166 * r259166;
        double r259168 = r259165 - r259167;
        double r259169 = 43.3400022514;
        double r259170 = r259150 + r259169;
        double r259171 = 263.505074721;
        double r259172 = fma(r259170, r259150, r259171);
        double r259173 = 313.399215894;
        double r259174 = fma(r259172, r259150, r259173);
        double r259175 = 47.066876606;
        double r259176 = fma(r259174, r259150, r259175);
        double r259177 = r259168 / r259176;
        double r259178 = 1.0;
        double r259179 = r259150 + r259166;
        double r259180 = r259178 / r259179;
        double r259181 = r259177 * r259180;
        double r259182 = 78.6994924154;
        double r259183 = fma(r259150, r259157, r259182);
        double r259184 = 137.519416416;
        double r259185 = fma(r259183, r259150, r259184);
        double r259186 = fma(r259185, r259150, r259158);
        double r259187 = z;
        double r259188 = fma(r259186, r259150, r259187);
        double r259189 = r259181 * r259188;
        double r259190 = r259156 ? r259164 : r259189;
        return r259190;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	26.4
Target	0.5
Herbie	1.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -3.326128725870004842699683658678411714981 \cdot 10^{62}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{y}{x \cdot x} + 4.16438922227999963610045597306452691555 \cdot x\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229\\ \mathbf{elif}\;x \lt 9.429991714554672672712552870340896976735 \cdot 10^{55}:\\ \;\;\;\;\frac{x - 2}{1} \cdot \frac{\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922227999963610045597306452691555 + 78.69949241540000173245061887428164482117\right) \cdot x + 137.5194164160000127594685181975364685059\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z}{\left(\left(263.5050747210000281484099105000495910645 \cdot x + \left(43.3400022514000013984514225739985704422 \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) + 313.3992158940000081202015280723571777344\right) \cdot x + 47.06687660600000100430406746454536914825}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{y}{x \cdot x} + 4.16438922227999963610045597306452691555 \cdot x\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -9.990458313923675e+47 or 1.5220683705628803e+18 < x

   1. Initial program 58.9

      \[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922227999963610045597306452691555 + 78.69949241540000173245061887428164482117\right) \cdot x + 137.5194164160000127594685181975364685059\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422\right) \cdot x + 263.5050747210000281484099105000495910645\right) \cdot x + 313.3992158940000081202015280723571777344\right) \cdot x + 47.06687660600000100430406746454536914825}\]

   2. Simplified 55.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - 2}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)}}}\]

   3. Taylor expanded around inf 1.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{y}{{x}^{2}} + 4.16438922227999963610045597306452691555 \cdot x\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229}\]

   4. Simplified 1.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(4.16438922227999963610045597306452691555, x, \frac{y}{{x}^{2}}\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229}\]

   if -9.990458313923675e+47 < x < 1.5220683705628803e+18

   1. Initial program 0.7

      \[\frac{\left(x - 2\right) \cdot \left(\left(\left(\left(x \cdot 4.16438922227999963610045597306452691555 + 78.69949241540000173245061887428164482117\right) \cdot x + 137.5194164160000127594685181975364685059\right) \cdot x + y\right) \cdot x + z\right)}{\left(\left(\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422\right) \cdot x + 263.5050747210000281484099105000495910645\right) \cdot x + 313.3992158940000081202015280723571777344\right) \cdot x + 47.06687660600000100430406746454536914825}\]

   2. Simplified 0.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - 2}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)}}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied associate-/r/ 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x - 2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied clear-num 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{x - 2}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied flip-- 0.6

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{\color{blue}{\frac{x \cdot x - 2 \cdot 2}{x + 2}}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]

   9. Applied associate-/r/ 0.6

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{x \cdot x - 2 \cdot 2} \cdot \left(x + 2\right)}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]

   10. Applied add-cube-cbrt 0.6

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}\right) \cdot \sqrt[3]{1}}}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{x \cdot x - 2 \cdot 2} \cdot \left(x + 2\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]

   11. Applied times-frac 0.6

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\sqrt[3]{1} \cdot \sqrt[3]{1}}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}{x \cdot x - 2 \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{x + 2}\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]

   12. Simplified 0.6

       \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{x \cdot x - 2 \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{x + 2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]

   13. Simplified 0.6

       \[\leadsto \left(\frac{x \cdot x - 2 \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)} \cdot \color{blue}{\frac{1}{x + 2}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le -9.990458313923675215149766916585514290729 \cdot 10^{47} \lor \neg \left(x \le 1522068370562880256\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(4.16438922227999963610045597306452691555, x, \frac{y}{{x}^{2}}\right) - 110.1139242984810948655649553984403610229\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{x \cdot x - 2 \cdot 2}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x + 43.3400022514000013984514225739985704422, x, 263.5050747210000281484099105000495910645\right), x, 313.3992158940000081202015280723571777344\right), x, 47.06687660600000100430406746454536914825\right)} \cdot \frac{1}{x + 2}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, 4.16438922227999963610045597306452691555, 78.69949241540000173245061887428164482117\right), x, 137.5194164160000127594685181975364685059\right), x, y\right), x, z\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019347 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, C"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -3.326128725870005e+62) (- (+ (/ y (* x x)) (* 4.16438922228 x)) 110.1139242984811) (if (< x 9.429991714554673e+55) (* (/ (- x 2) 1) (/ (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x 4.16438922228) 78.6994924154) x) 137.519416416) x) y) x) z) (+ (* (+ (+ (* 263.505074721 x) (+ (* 43.3400022514 (* x x)) (* x (* x x)))) 313.399215894) x) 47.066876606))) (- (+ (/ y (* x x)) (* 4.16438922228 x)) 110.1139242984811)))

  (/ (* (- x 2) (+ (* (+ (* (+ (* (+ (* x 4.16438922228) 78.6994924154) x) 137.519416416) x) y) x) z)) (+ (* (+ (* (+ (* (+ x 43.3400022514) x) 263.505074721) x) 313.399215894) x) 47.066876606)))