Average Error: 29.6 → 1.0
Time: 21.5s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.714530635609196052016045541677158325911:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 1.714530635609196052016045541677158325911:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r44228 = 1.0;
        double r44229 = eps;
        double r44230 = r44228 / r44229;
        double r44231 = r44228 + r44230;
        double r44232 = r44228 - r44229;
        double r44233 = x;
        double r44234 = r44232 * r44233;
        double r44235 = -r44234;
        double r44236 = exp(r44235);
        double r44237 = r44231 * r44236;
        double r44238 = r44230 - r44228;
        double r44239 = r44228 + r44229;
        double r44240 = r44239 * r44233;
        double r44241 = -r44240;
        double r44242 = exp(r44241);
        double r44243 = r44238 * r44242;
        double r44244 = r44237 - r44243;
        double r44245 = 2.0;
        double r44246 = r44244 / r44245;
        return r44246;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r44247 = x;
        double r44248 = 1.714530635609196;
        bool r44249 = r44247 <= r44248;
        double r44250 = r44247 * r44247;
        double r44251 = 0.6666666666666667;
        double r44252 = r44247 * r44251;
        double r44253 = 1.0;
        double r44254 = r44252 - r44253;
        double r44255 = cbrt(r44254);
        double r44256 = cbrt(r44255);
        double r44257 = r44256 * r44256;
        double r44258 = cbrt(r44256);
        double r44259 = 2.0;
        double r44260 = pow(r44258, r44259);
        double r44261 = r44260 * r44258;
        double r44262 = 4.0;
        double r44263 = pow(r44261, r44262);
        double r44264 = r44257 * r44263;
        double r44265 = r44250 * r44264;
        double r44266 = r44265 * r44255;
        double r44267 = 2.0;
        double r44268 = r44266 + r44267;
        double r44269 = r44268 / r44267;
        double r44270 = eps;
        double r44271 = r44253 / r44270;
        double r44272 = r44271 + r44253;
        double r44273 = r44253 - r44270;
        double r44274 = r44273 * r44247;
        double r44275 = exp(r44274);
        double r44276 = r44272 / r44275;
        double r44277 = r44253 + r44270;
        double r44278 = r44277 * r44247;
        double r44279 = exp(r44278);
        double r44280 = r44271 / r44279;
        double r44281 = r44276 - r44280;
        double r44282 = r44253 / r44279;
        double r44283 = r44281 + r44282;
        double r44284 = r44283 / r44267;
        double r44285 = r44249 ? r44269 : r44284;
        return r44285;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 1.714530635609196

    1. Initial program 39.0

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified39.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

    4. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1\right) + 2}}{2}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)} + 2}{2}\]

    7. Applied associate-*r*1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} + 2}{2}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\]

    10. Applied associate-*l*1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\]

    11. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)}^{4}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\]
    12. Using strategy rm

    13. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\]

    14. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\]

    if 1.714530635609196 < x

    1. Initial program 0.6

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied div-sub0.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right)}}{2}\]

    5. Applied associate--r-0.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification1.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 1.714530635609196052016045541677158325911:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} + 2}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019347 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))