Average Error: 28.9 → 2.0
Time: 10.9s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 3.375282683015706291841696417845614769891 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 3.375282683015706291841696417845614769891 \cdot 10^{-23}:\\
\;\;\;\;1 + \left(\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r48457 = 1.0;
        double r48458 = eps;
        double r48459 = r48457 / r48458;
        double r48460 = r48457 + r48459;
        double r48461 = r48457 - r48458;
        double r48462 = x;
        double r48463 = r48461 * r48462;
        double r48464 = -r48463;
        double r48465 = exp(r48464);
        double r48466 = r48460 * r48465;
        double r48467 = r48459 - r48457;
        double r48468 = r48457 + r48458;
        double r48469 = r48468 * r48462;
        double r48470 = -r48469;
        double r48471 = exp(r48470);
        double r48472 = r48467 * r48471;
        double r48473 = r48466 - r48472;
        double r48474 = 2.0;
        double r48475 = r48473 / r48474;
        return r48475;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r48476 = x;
        double r48477 = 3.375282683015706e-23;
        bool r48478 = r48476 <= r48477;
        double r48479 = 1.0;
        double r48480 = 2.0;
        double r48481 = pow(r48476, r48480);
        double r48482 = 0.33333333333333337;
        double r48483 = r48476 * r48482;
        double r48484 = 0.5;
        double r48485 = r48483 - r48484;
        double r48486 = r48481 * r48485;
        double r48487 = cbrt(r48486);
        double r48488 = cbrt(r48487);
        double r48489 = 4.0;
        double r48490 = pow(r48488, r48489);
        double r48491 = r48490 * r48488;
        double r48492 = r48491 * r48488;
        double r48493 = r48488 * r48488;
        double r48494 = r48493 * r48488;
        double r48495 = r48492 * r48494;
        double r48496 = r48479 + r48495;
        double r48497 = eps;
        double r48498 = r48479 / r48497;
        double r48499 = r48479 + r48498;
        double r48500 = r48479 - r48497;
        double r48501 = r48500 * r48476;
        double r48502 = exp(r48501);
        double r48503 = r48499 / r48502;
        double r48504 = 2.0;
        double r48505 = r48503 / r48504;
        double r48506 = r48498 - r48479;
        double r48507 = r48479 + r48497;
        double r48508 = r48507 * r48476;
        double r48509 = exp(r48508);
        double r48510 = r48506 / r48509;
        double r48511 = r48510 / r48504;
        double r48512 = r48505 - r48511;
        double r48513 = log(r48512);
        double r48514 = exp(r48513);
        double r48515 = r48478 ? r48496 : r48514;
        return r48515;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 3.375282683015706e-23

    1. Initial program 38.2

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified38.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

    3. Taylor expanded around 0 1.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333703407674875052180141211 \cdot {x}^{3} + 1\right) - 0.5 \cdot {x}^{2}}\]

    4. Simplified1.2

      \[\leadsto \color{blue}{1 + {x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}\]

    9. Applied associate-*r*1.2

      \[\leadsto 1 + \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)} \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}\]

    10. Simplified1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied add-cube-cbrt1.2

      \[\leadsto 1 + \left(\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}\]

    if 3.375282683015706e-23 < x

    1. Initial program 4.1

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Simplified4.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-exp-log4.1

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification2.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 3.375282683015706291841696417845614769891 \cdot 10^{-23}:\\ \;\;\;\;1 + \left(\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)}^{4} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{{x}^{2} \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333703407674875052180141211 - 0.5\right)}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\frac{\frac{1 + \frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}}}{2} - \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019322 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))