Average Error: 38.4 → 28.2
Time: 4.6s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.282394346843420948115684613539894447091 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.516302862907272157722336649475908699589 \cdot 10^{-218}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.316771437016603491521225239681686588464 \cdot 10^{122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -3.282394346843420948115684613539894447091 \cdot 10^{-40}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.516302862907272157722336649475908699589 \cdot 10^{-218}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \le 4.316771437016603491521225239681686588464 \cdot 10^{122}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r192707 = 0.5;
        double r192708 = 2.0;
        double r192709 = re;
        double r192710 = r192709 * r192709;
        double r192711 = im;
        double r192712 = r192711 * r192711;
        double r192713 = r192710 + r192712;
        double r192714 = sqrt(r192713);
        double r192715 = r192714 + r192709;
        double r192716 = r192708 * r192715;
        double r192717 = sqrt(r192716);
        double r192718 = r192707 * r192717;
        return r192718;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r192719 = re;
        double r192720 = -3.282394346843421e-40;
        bool r192721 = r192719 <= r192720;
        double r192722 = 0.5;
        double r192723 = 2.0;
        double r192724 = im;
        double r192725 = r192724 * r192724;
        double r192726 = 0.0;
        double r192727 = r192725 + r192726;
        double r192728 = r192719 * r192719;
        double r192729 = r192728 + r192725;
        double r192730 = sqrt(r192729);
        double r192731 = -1.0;
        double r192732 = r192731 * r192719;
        double r192733 = r192730 + r192732;
        double r192734 = r192727 / r192733;
        double r192735 = r192723 * r192734;
        double r192736 = sqrt(r192735);
        double r192737 = r192722 * r192736;
        double r192738 = 1.5163028629072722e-218;
        bool r192739 = r192719 <= r192738;
        double r192740 = r192719 + r192724;
        double r192741 = r192723 * r192740;
        double r192742 = sqrt(r192741);
        double r192743 = r192722 * r192742;
        double r192744 = 4.3167714370166035e+122;
        bool r192745 = r192719 <= r192744;
        double r192746 = sqrt(r192730);
        double r192747 = cbrt(r192729);
        double r192748 = r192747 * r192747;
        double r192749 = sqrt(r192748);
        double r192750 = sqrt(r192749);
        double r192751 = r192746 * r192750;
        double r192752 = sqrt(r192747);
        double r192753 = sqrt(r192752);
        double r192754 = r192751 * r192753;
        double r192755 = r192754 + r192719;
        double r192756 = r192723 * r192755;
        double r192757 = sqrt(r192756);
        double r192758 = r192722 * r192757;
        double r192759 = r192719 + r192719;
        double r192760 = r192723 * r192759;
        double r192761 = sqrt(r192760);
        double r192762 = r192722 * r192761;
        double r192763 = r192745 ? r192758 : r192762;
        double r192764 = r192739 ? r192743 : r192763;
        double r192765 = r192721 ? r192737 : r192764;
        return r192765;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.1
Herbie28.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -3.282394346843421e-40

    1. Initial program 55.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt55.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod56.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+56.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified38.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified38.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}}\]

    if -3.282394346843421e-40 < re < 1.5163028629072722e-218

    1. Initial program 32.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 37.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}}\]

    if 1.5163028629072722e-218 < re < 4.3167714370166035e+122

    1. Initial program 18.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt18.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    if 4.3167714370166035e+122 < re

    1. Initial program 56.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt56.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod56.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around inf 9.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification28.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.282394346843420948115684613539894447091 \cdot 10^{-40}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + -1 \cdot re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.516302862907272157722336649475908699589 \cdot 10^{-218}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.316771437016603491521225239681686588464 \cdot 10^{122}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019346 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))