Average Error: 19.9 → 0.4
Time: 16.5s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -9058164115916726272 \lor \neg \left(z \le 1.221975873940990937748175085037372761265 \cdot 10^{-9}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -9058164115916726272 \lor \neg \left(z \le 1.221975873940990937748175085037372761265 \cdot 10^{-9}\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r199579 = x;
        double r199580 = y;
        double r199581 = z;
        double r199582 = 0.0692910599291889;
        double r199583 = r199581 * r199582;
        double r199584 = 0.4917317610505968;
        double r199585 = r199583 + r199584;
        double r199586 = r199585 * r199581;
        double r199587 = 0.279195317918525;
        double r199588 = r199586 + r199587;
        double r199589 = r199580 * r199588;
        double r199590 = 6.012459259764103;
        double r199591 = r199581 + r199590;
        double r199592 = r199591 * r199581;
        double r199593 = 3.350343815022304;
        double r199594 = r199592 + r199593;
        double r199595 = r199589 / r199594;
        double r199596 = r199579 + r199595;
        return r199596;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r199597 = z;
        double r199598 = -9.058164115916726e+18;
        bool r199599 = r199597 <= r199598;
        double r199600 = 1.221975873940991e-09;
        bool r199601 = r199597 <= r199600;
        double r199602 = !r199601;
        bool r199603 = r199599 || r199602;
        double r199604 = 0.07512208616047561;
        double r199605 = y;
        double r199606 = r199605 / r199597;
        double r199607 = 0.0692910599291889;
        double r199608 = x;
        double r199609 = fma(r199605, r199607, r199608);
        double r199610 = fma(r199604, r199606, r199609);
        double r199611 = r199597 * r199607;
        double r199612 = 0.4917317610505968;
        double r199613 = r199611 + r199612;
        double r199614 = r199613 * r199597;
        double r199615 = 0.279195317918525;
        double r199616 = r199614 + r199615;
        double r199617 = r199605 * r199616;
        double r199618 = 6.012459259764103;
        double r199619 = r199597 + r199618;
        double r199620 = r199619 * r199597;
        double r199621 = 3.350343815022304;
        double r199622 = r199620 + r199621;
        double r199623 = r199617 / r199622;
        double r199624 = r199608 + r199623;
        double r199625 = r199603 ? r199610 : r199624;
        return r199625;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original19.9
Target0.2
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747248172760009765625:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737678336:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -9.058164115916726e+18 or 1.221975873940991e-09 < z

    1. Initial program 40.4

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

    2. Simplified34.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 0.5

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047560960637952121032867580652 \cdot \frac{y}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified0.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, x\right)\right)}\]

    if -9.058164115916726e+18 < z < 1.221975873940991e-09

    1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -9058164115916726272 \lor \neg \left(z \le 1.221975873940990937748175085037372761265 \cdot 10^{-9}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019325 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))