Average Error: 9.7 → 1.1
Time: 26.0s
Precision: 64
\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]
↓
\[\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t\]
\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t
↓
\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t
double f(double x, double y, double z, double t) {
        double r238084 = x;
        double r238085 = y;
        double r238086 = log(r238085);
        double r238087 = r238084 * r238086;
        double r238088 = z;
        double r238089 = 1.0;
        double r238090 = r238089 - r238085;
        double r238091 = log(r238090);
        double r238092 = r238088 * r238091;
        double r238093 = r238087 + r238092;
        double r238094 = t;
        double r238095 = r238093 - r238094;
        return r238095;
}
↓
double f(double x, double y, double z, double t) {
        double r238096 = x;
        double r238097 = y;
        double r238098 = log(r238097);
        double r238099 = z;
        double r238100 = 1.0;
        double r238101 = log(r238100);
        double r238102 = r238100 * r238097;
        double r238103 = r238101 - r238102;
        double r238104 = 2.0;
        double r238105 = pow(r238097, r238104);
        double r238106 = r238099 * r238105;
        double r238107 = pow(r238100, r238104);
        double r238108 = r238106 / r238107;
        double r238109 = -0.5;
        double r238110 = r238108 * r238109;
        double r238111 = fma(r238099, r238103, r238110);
        double r238112 = fma(r238096, r238098, r238111);
        double r238113 = cbrt(r238112);
        double r238114 = r238113 * r238113;
        double r238115 = cbrt(r238114);
        double r238116 = cbrt(r238113);
        double r238117 = r238115 * r238116;
        double r238118 = r238114 * r238117;
        double r238119 = t;
        double r238120 = r238118 - r238119;
        return r238120;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Target

Original9.7
Target0.3
Herbie1.1
\[\left(-z\right) \cdot \left(\left(0.5 \cdot \left(y \cdot y\right) + y\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)} \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) - \left(t - x \cdot \log y\right)\]

Derivation

  1. Initial program 9.7

    \[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

  2. Simplified9.7

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \log y, z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \log y, \color{blue}{z \cdot \log 1 - \left(1 \cdot \left(z \cdot y\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}}\right)}\right) - t\]

  4. Simplified0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \log y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right) - t\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cube-cbrt1.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} - t\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-cube-cbrt1.0

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}} - t\]

  9. Applied cbrt-prod1.1

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right)} - t\]

  10. Final simplification1.1

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019323 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- (* (- z) (+ (+ (* 0.5 (* y y)) y) (* (/ 0.3333333333333333 (* 1 (* 1 1))) (* y (* y y))))) (- t (* x (log y))))

  (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1 y)))) t))