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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.258700308413734263198473092360990096615 \cdot 10^{-288}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.015933577747527344666564222799068286537 \cdot 10^{138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -3.258700308413734263198473092360990096615 \cdot 10^{-288}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 1.015933577747527344666564222799068286537 \cdot 10^{138}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r98106 = 0.5;
        double r98107 = 2.0;
        double r98108 = re;
        double r98109 = r98108 * r98108;
        double r98110 = im;
        double r98111 = r98110 * r98110;
        double r98112 = r98109 + r98111;
        double r98113 = sqrt(r98112);
        double r98114 = r98113 + r98108;
        double r98115 = r98107 * r98114;
        double r98116 = sqrt(r98115);
        double r98117 = r98106 * r98116;
        return r98117;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r98118 = re;
        double r98119 = -3.2587003084137343e-288;
        bool r98120 = r98118 <= r98119;
        double r98121 = 0.5;
        double r98122 = im;
        double r98123 = r98122 * r98122;
        double r98124 = 2.0;
        double r98125 = r98123 * r98124;
        double r98126 = sqrt(r98125);
        double r98127 = r98118 * r98118;
        double r98128 = r98127 + r98123;
        double r98129 = sqrt(r98128);
        double r98130 = r98129 - r98118;
        double r98131 = sqrt(r98130);
        double r98132 = r98126 / r98131;
        double r98133 = r98121 * r98132;
        double r98134 = 1.0159335777475273e+138;
        bool r98135 = r98118 <= r98134;
        double r98136 = sqrt(r98129);
        double r98137 = cbrt(r98128);
        double r98138 = fabs(r98137);
        double r98139 = sqrt(r98138);
        double r98140 = r98136 * r98139;
        double r98141 = sqrt(r98137);
        double r98142 = sqrt(r98141);
        double r98143 = r98140 * r98142;
        double r98144 = r98143 + r98118;
        double r98145 = r98124 * r98144;
        double r98146 = sqrt(r98145);
        double r98147 = r98121 * r98146;
        double r98148 = r98118 + r98118;
        double r98149 = r98124 * r98148;
        double r98150 = sqrt(r98149);
        double r98151 = r98121 * r98150;
        double r98152 = r98135 ? r98147 : r98151;
        double r98153 = r98120 ? r98133 : r98152;
        return r98153;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target33.7
Herbie26.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -3.2587003084137343e-288

    1. Initial program 46.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+46.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/46.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div46.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -3.2587003084137343e-288 < re < 1.0159335777475273e+138

    1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt20.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied associate-*r*21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    10. Simplified21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if 1.0159335777475273e+138 < re

    1. Initial program 58.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.258700308413734263198473092360990096615 \cdot 10^{-288}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 1.015933577747527344666564222799068286537 \cdot 10^{138}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|}\right) \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019323 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))