Average Error: 9.7 → 1.1
Time: 27.5s
Precision: 64
\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]
↓
\[\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t\]
\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t
↓
\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t
double f(double x, double y, double z, double t) {
        double r315042 = x;
        double r315043 = y;
        double r315044 = log(r315043);
        double r315045 = r315042 * r315044;
        double r315046 = z;
        double r315047 = 1.0;
        double r315048 = r315047 - r315043;
        double r315049 = log(r315048);
        double r315050 = r315046 * r315049;
        double r315051 = r315045 + r315050;
        double r315052 = t;
        double r315053 = r315051 - r315052;
        return r315053;
}
↓
double f(double x, double y, double z, double t) {
        double r315054 = x;
        double r315055 = y;
        double r315056 = log(r315055);
        double r315057 = z;
        double r315058 = 1.0;
        double r315059 = log(r315058);
        double r315060 = r315058 * r315055;
        double r315061 = r315059 - r315060;
        double r315062 = 2.0;
        double r315063 = pow(r315055, r315062);
        double r315064 = r315057 * r315063;
        double r315065 = pow(r315058, r315062);
        double r315066 = r315064 / r315065;
        double r315067 = -0.5;
        double r315068 = r315066 * r315067;
        double r315069 = fma(r315057, r315061, r315068);
        double r315070 = fma(r315054, r315056, r315069);
        double r315071 = cbrt(r315070);
        double r315072 = r315071 * r315071;
        double r315073 = cbrt(r315072);
        double r315074 = cbrt(r315071);
        double r315075 = r315073 * r315074;
        double r315076 = r315072 * r315075;
        double r315077 = t;
        double r315078 = r315076 - r315077;
        return r315078;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Target

Original9.7
Target0.3
Herbie1.1
\[\left(-z\right) \cdot \left(\left(0.5 \cdot \left(y \cdot y\right) + y\right) + \frac{0.3333333333333333148296162562473909929395}{1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)} \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) - \left(t - x \cdot \log y\right)\]

Derivation

  1. Initial program 9.7

    \[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

  2. Simplified9.7

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, \log y, z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t}\]

  3. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \log y, \color{blue}{z \cdot \log 1 - \left(1 \cdot \left(z \cdot y\right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}}\right)}\right) - t\]

  4. Simplified0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, \log y, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)}\right) - t\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-cube-cbrt1.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} - t\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-cube-cbrt1.0

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}} - t\]

  9. Applied cbrt-prod1.1

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right)} - t\]

  10. Final simplification1.1

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \log y, \mathsf{fma}\left(z, \log 1 - 1 \cdot y, \frac{z \cdot {y}^{2}}{{1}^{2}} \cdot \frac{-1}{2}\right)\right)}}\right) - t\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019323 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- (* (- z) (+ (+ (* 0.5 (* y y)) y) (* (/ 0.3333333333333333 (* 1 (* 1 1))) (* y (* y y))))) (- t (* x (log y))))

  (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1 y)))) t))