Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.4 → 0.1

Time: 16.3s

Precision: 64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -2642213428.445613861083984375 \lor \neg \left(z \le 629.3033712948589482039096765220165252686\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, \mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + y \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r195323 = x;
        double r195324 = y;
        double r195325 = z;
        double r195326 = 0.0692910599291889;
        double r195327 = r195325 * r195326;
        double r195328 = 0.4917317610505968;
        double r195329 = r195327 + r195328;
        double r195330 = r195329 * r195325;
        double r195331 = 0.279195317918525;
        double r195332 = r195330 + r195331;
        double r195333 = r195324 * r195332;
        double r195334 = 6.012459259764103;
        double r195335 = r195325 + r195334;
        double r195336 = r195335 * r195325;
        double r195337 = 3.350343815022304;
        double r195338 = r195336 + r195337;
        double r195339 = r195333 / r195338;
        double r195340 = r195323 + r195339;
        return r195340;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r195341 = z;
        double r195342 = -2642213428.445614;
        bool r195343 = r195341 <= r195342;
        double r195344 = 629.303371294859;
        bool r195345 = r195341 <= r195344;
        double r195346 = !r195345;
        bool r195347 = r195343 || r195346;
        double r195348 = 0.0692910599291889;
        double r195349 = y;
        double r195350 = r195349 / r195341;
        double r195351 = 0.07512208616047561;
        double r195352 = x;
        double r195353 = fma(r195350, r195351, r195352);
        double r195354 = fma(r195348, r195349, r195353);
        double r195355 = 0.4917317610505968;
        double r195356 = fma(r195341, r195348, r195355);
        double r195357 = 0.279195317918525;
        double r195358 = fma(r195356, r195341, r195357);
        double r195359 = 6.012459259764103;
        double r195360 = r195341 + r195359;
        double r195361 = 3.350343815022304;
        double r195362 = fma(r195360, r195341, r195361);
        double r195363 = r195358 / r195362;
        double r195364 = r195349 * r195363;
        double r195365 = r195352 + r195364;
        double r195366 = r195347 ? r195354 : r195365;
        return r195366;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.4
Target	0.2
Herbie	0.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747248172760009765625:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737678336:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -2642213428.445614 or 629.303371294859 < z

   1. Initial program 41.0

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   2. Simplified 34.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 34.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)\]

   5. Applied *-un-lft-identity 34.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{1 \cdot y}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)\]

   6. Applied times-frac 34.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)\]

   7. Taylor expanded around inf 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047560960637952121032867580652 \cdot \frac{y}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172 \cdot y\right)}\]

   8. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, \mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, x\right)\right)}\]

   if -2642213428.445614 < z < 629.303371294859

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied *-un-lft-identity 0.2

      \[\leadsto x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\color{blue}{1 \cdot \left(\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}\]

   4. Applied times-frac 0.1

      \[\leadsto x + \color{blue}{\frac{y}{1} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}}\]

   5. Simplified 0.1

      \[\leadsto x + \color{blue}{y} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   6. Simplified 0.1

      \[\leadsto x + y \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -2642213428.445613861083984375 \lor \neg \left(z \le 629.3033712948589482039096765220165252686\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, \mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + y \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019322 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))